As derivadas parciais aparecem, por exemplo, nas chamadas Equações Diferenciais Parciais (EDPs), as quais exprimem certas leis físicas. Por exemplo, a EDP
partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial doty^2=0
é denominada equação de Laplace, e suas soluções são chamadas funções harmônicas e são muito importantes no estudo de condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico.
a) Determine se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace: u1(x, y)= x^3+3 x y^2 e u2(x, y)=e^-x cos y-e^-y cos x.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Laplace
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0
e pede para verificar se as funções
u1(x,y)=x^3+3xy^2
e
u2(x,y)=e^-xcos y ;-; e^-ycos x
são soluções dessa equação. Para isso, basta calcular partial^2 u/partial x^2 e partial^2 u/partial y^2 em cada caso e somá-las.

Passo 2

Para u1(x,y)=x^3+3xy^2:
u1,x(x,y)=3x^2+3y^2, u1,xx(x,y)=partialpartial x(3x^2+3y^2)=6x
u1,y(x,y)=6xy, u1,yy(x,y)=partialpartial y(6xy)=6x
Somando as derivadas segundas:
u1,xx+u1,yy=6x+6x=12xneq0(em >=ral),
logo u1 não satisfaz a equação de Laplace.

Passo 3

Para u2(x,y)=e^-xcos y - e^-ycos x:
u2,x=-e^-xcos y + e^-ysin x, u2,xx=e^-xcos y + e^-ycos x
u2,y=-e^-xsin y + e^-ycos x, u2,yy=-e^-xcos y - e^-ycos x
Somando as derivadas segundas:
u2,xx+u2,yy =(e^-xcos y + e^-ycos x) +(-e^-xcos y - e^-ycos x) =0,
logo u2 satisfaz a equação de Laplace.

Passo 4

A equação de Laplace exige uxx+uyy=0. Vimos que para u1 essa soma dá 12xneq0 e para u2 0. Portanto, apenas u2 é solução.

Resposta

u1 não é solução da equação de Laplace.
u2 é solução da equação de Laplace.

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