As derivadas parciais aparecem, por exemplo, nas chamadas Equações Diferenciais Parciais (EDPs), as quais exprimem certas leis físicas. Por exemplo, a EDP
é denominada equação de Laplace, e suas soluções são chamadas funções harmônicas e são muito importantes no estudo de condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico.
a) Determine se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace:
e
.
a) Determine se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Laplace
e pede para verificar se as funções
e
são soluções dessa equação. Para isso, basta calcular
e
em cada caso e somá-las.
Passo 2
Para
:
Somando as derivadas segundas:
logo
não satisfaz a equação de Laplace.
Passo 3
Para
:
Somando as derivadas segundas:
logo
satisfaz a equação de Laplace.
Passo 4
A equação de Laplace exige
. Vimos que para
essa soma dá
e para
dá
. Portanto, apenas
é solução.