Determine em quais pontos as funções f abaixo têm derivadas, e escreva a função f^prime :
f(x)=l-x+3, se x neq 1 3, se x=1.)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= -x+3, &se xneq1, 3, &se x=1
Queremos determinar onde f é derivável e encontrar f'(x). Vamos usar que funções polinomiais (como reta) são deriváveis em todo ponto e aplicar a definição de derivada no ponto x=1.

Passo 2

Para xneq1, temos
f(x)=-x+3,
que é uma função afim (reta). O coeficiente angular dessa reta é -1, portanto ela é derivável em todo ponto xneq1 e
f'(x)=-1, xneq1

Passo 3

Para verificar a derivabilidade em x=1, usamos a definição
f'(1)=limhto0f(1+h)-f(1)h
Aqui f(1)=3 e, para hneq0, como 1+hneq1, vale f(1+h)=-(1+h)+3=2-h.

Passo 4

Substituindo na definição:
f(1+h)-f(1)h =(2-h)-3h =-1-hh =-1h-1
Ao fazermos hto0, o termo -1/h diverge (vai para +infty ou -infty dependendo do sinal de h). Logo o limite não existe finito.

Passo 5

Como o limite da definição de derivada em x=1 não existe, concluímos que f não é derivável em x=1.

Resposta

A função f é derivável em todos os pontos xneq1 e
f'(x)=-1, xneq1
Em x=1 a derivada não existe.

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