Determine em quais pontos as funções abaixo têm derivadas, e escreva a função : .)
Passo 1
O enunciado nos dá a função
f(x)= -x+3, &se xneq1, 3, &se x=1
Queremos determinar onde f é derivável e encontrar f'(x). Vamos usar que funções polinomiais (como reta) são deriváveis em todo ponto e aplicar a definição de derivada no ponto x=1.
Passo 2
Para xneq1, temos
f(x)=-x+3,
que é uma função afim (reta). O coeficiente angular dessa reta é -1, portanto ela é derivável em todo ponto xneq1 e
f'(x)=-1, xneq1
Passo 3
Para verificar a derivabilidade em x=1, usamos a definição
f'(1)=limhto0f(1+h)-f(1)h
Aqui f(1)=3 e, para hneq0, como 1+hneq1, vale f(1+h)=-(1+h)+3=2-h.
Passo 4
Substituindo na definição:
f(1+h)-f(1)h =(2-h)-3h =-1-hh =-1h-1
Ao fazermos hto0, o termo -1/h diverge (vai para +infty ou -infty dependendo do sinal de h). Logo o limite não existe finito.
Passo 5
Como o limite da definição de derivada em x=1 não existe, concluímos que fnão é derivável em x=1.