Derive.
(f(\theta)=\frac{\operatorname{sec} \theta}{1+\operatorname{sec} \theta})

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
f(\theta)=\frac{\operatorname{sec}\theta}{1+\operatorname{sec}\theta}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{função } f(\theta)=\frac{\operatorname{sec}\theta}{1+\operatorname{sec}\theta},\qquad \theta \text{ é a variável independente.}çãéá
A única pergunta é: qual é f'(\theta), a derivada de f em relação a \theta.

Passo 2

Estratégia que vamos usar (só explicando o que faremos agora): é útil primeiro simplificar algebricamente f para tornar a diferenciação mais direta, e depois aplicar regras básicas de derivação (regra do poder/chain rule e a derivada de \operatorname{sec}). Vou mostrar também, como checagem, a solução usando a regra do quociente para confirmar que dá o mesmo resultado.

Passo 3

Simplificação algébrica de f(\theta). Começo escrevendo o numerador como 1+\operatorname{sec}\theta-1 para separar um termo:
\frac{\operatorname{sec}\theta}{1+\operatorname{sec}\theta} = \frac{1+\operatorname{sec}\theta - 1}{1+\operatorname{sec}\theta} = \frac{1+\operatorname{sec}\theta}{1+\operatorname{sec}\theta} - \frac{1}{1+\operatorname{sec}\theta}.
Como \frac{1+\operatorname{sec}\theta}{1+\operatorname{sec}\theta}=1, temos
f(\theta)=1 - \frac{1}{1+\operatorname{sec}\theta}.

Passo 4

Regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma didática):
  • Derivada de uma constante: se C é constante então \dfrac{d}{d\theta}C=0.
  • Regra do expoente (power rule) combinada com chain rule: se g(\theta)=[u(\theta)]^{n} com n real, então
\frac{d}{d\theta}g(\theta)=n\,[u(\theta)]^{n-1}\cdot u'(\theta).
No caso n=-1 (função u^{-1}), fica
\frac{d}{d\theta}\big(u(\theta)^{-1}\big) = -u(\theta)^{-2}\cdot u'(\theta).
  • Derivada da função \operatorname{sec}\theta: podemos obter a derivada a partir de \operatorname{sec}\theta = \frac{1}{\cos\theta}. Calculando,
\frac{d}{d\theta}\operatorname{sec}\theta = \frac{d}{d\theta}(\cos\theta)^{-1} = -1\cdot(\cos\theta)^{-2}\cdot\big(-\sin\theta\big) = \frac{\sin\theta}{\cos^{2}\theta} = \frac{1}{\cos\theta}\cdot\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \operatorname{sec}\theta\tan\theta.
Portanto,
\frac{d}{d\theta}\operatorname{sec}\theta=\operatorname{sec}\theta\tan\theta.

Passo 5

Agora derivamos f(\theta)=1 - (1+\operatorname{sec}\theta)^{-1}. A derivada do primeiro termo 1 é 0. Para o segundo, aplicamos a fórmula do passo anterior com u(\theta)=1+\operatorname{sec}\theta:
\frac{d}{d\theta}\big((1+\operatorname{sec}\theta)^{-1}\big) = - (1+\operatorname{sec}\theta)^{-2}\cdot\frac{d}{d\theta}\big(1+\operatorname{sec}\theta\big).
Como \dfrac{d}{d\theta}(1+\operatorname{sec}\theta)=0+\dfrac{d}{d\theta}\operatorname{sec}\theta=\operatorname{sec}\theta\tan\theta, temos
\frac{d}{d\theta}\big((1+\operatorname{sec}\theta)^{-1}\big) = -\frac{\operatorname{sec}\theta\tan\theta}{(1+\operatorname{sec}\theta)^{2}}.

Passo 6

Voltando a f'(\theta):
f'(\theta)=0 - \left(-\frac{\operatorname{sec}\theta\tan\theta}{(1+\operatorname{sec}\theta)^{2}}\right) = \frac{\operatorname{sec}\theta\tan\theta}{(1+\operatorname{sec}\theta)^{2}}.
Pronto — essa é a derivada simplificada.

Passo 7

Checagem alternativa usando a regra do quociente (opcional, serve para confirmar): seja u(\theta)=\operatorname{sec}\theta e v(\theta)=1+\operatorname{sec}\theta. A regra do quociente diz
\frac{d}{d\theta}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Calculando u'=\operatorname{sec}\theta\tan\theta e v'=\operatorname{sec}\theta\tan\theta, obtemos
\frac{u'v-uv'}{v^{2}} =\frac{\operatorname{sec}\theta\tan\theta(1+\operatorname{sec}\theta)-\operatorname{sec}\theta(\operatorname{sec}\theta\tan\theta)}{(1+\operatorname{sec}\theta)^{2}}.
No numerador fatoramos \operatorname{sec}\theta\tan\theta:
\frac{\operatorname{sec}\theta\tan\theta\big(1+\operatorname{sec}\theta-\operatorname{sec}\theta\big)}{(1+\operatorname{sec}\theta)^{2}} =\frac{\operatorname{sec}\theta\tan\theta}{(1+\operatorname{sec}\theta)^{2}},
mesmo resultado que obtivemos antes.

Passo 8

Recapitulando de forma amigável: simplificamos a função antes para evitar contas desnecessárias, lembramos que \dfrac{d}{d\theta}\operatorname{sec}\theta=\operatorname{sec}\theta\tan\theta e aplicamos a chain rule. Se você fizer essa técnica na prova — simplificar quando possível — vai ganhar tempo e reduzir chance de erro. Força aí, você está indo bem!

Resposta

f'(\theta)=\frac{\operatorname{sec}\theta\tan\theta}{(1+\operatorname{sec}\theta)^{2}}

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