Derive.
(f(\theta)=\frac{\operatorname{sec} \theta}{1+\operatorname{sec} \theta})
(f(\theta)=\frac{\operatorname{sec} \theta}{1+\operatorname{sec} \theta})
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A única pergunta é: qual é
, a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Estratégia que vamos usar (só explicando o que faremos agora): é útil primeiro simplificar algebricamente
para tornar a diferenciação mais direta, e depois aplicar regras básicas de derivação (regra do poder/chain rule e a derivada de
). Vou mostrar também, como checagem, a solução usando a regra do quociente para confirmar que dá o mesmo resultado.
Passo 3
Simplificação algébrica de
. Começo escrevendo o numerador como
para separar um termo:
Como
, temos
Passo 4
Regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma didática):
- Derivada de uma constante: se
é constante então . - Regra do expoente (power rule) combinada com chain rule: se
com real, então
No caso
(função
), fica
- Derivada da função
: podemos obter a derivada a partir de . Calculando,
Portanto,
Passo 5
Agora derivamos
. A derivada do primeiro termo
é
. Para o segundo, aplicamos a fórmula do passo anterior com
:
Como
, temos
Passo 6
Voltando a
:
Pronto — essa é a derivada simplificada.
Passo 7
Checagem alternativa usando a regra do quociente (opcional, serve para confirmar): seja
e
. A regra do quociente diz
Calculando
e
, obtemos
No numerador fatoramos
:
mesmo resultado que obtivemos antes.
Passo 8
Recapitulando de forma amigável: simplificamos a função antes para evitar contas desnecessárias, lembramos que
e aplicamos a chain rule. Se você fizer essa técnica na prova — simplificar quando possível — vai ganhar tempo e reduzir chance de erro. Força aí, você está indo bem!