Encontre o limite
(\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} \theta}{\theta+\operatorname{tg} \theta})

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta+\tan\theta}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão envolve funções trigonométricas \sin\theta e \tan\theta.
  • O ponto de interesse é \theta\to 0.
  • Não há outros dados adicionais; precisamos analisar o comportamento da fração quando \theta se aproxima de 0.

Passo 2

Verificar substituição direta para ver se o limite é imediato ou uma indeterminação. Substituindo \theta=0:
\sin 0 = 0,\qquad \tan 0 = 0,
logo o numerador vai para 0 e o denominador vai para 0+0=0. Portanto a forma é 0/0, que é uma indeterminação. Precisamos de uma técnica para resolver essa indeterminação.

Passo 3

Apresentando uma técnica padrão: regra de l’Hôpital. Explicando de forma simples e segura:
  • A regra de l’Hôpital diz: se \displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=0 e \displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambas \pm\infty), e f e g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq 0 próximo de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
desde que o limite do quociente das derivadas exista.
  • Aqui temos f(\theta)=\sin\theta e g(\theta)=\theta+\tan\theta. Ambas são diferenciáveis perto de 0 e formam 0/0, então podemos aplicar l’Hôpital.

Passo 4

Calcular as derivadas necessárias (explicando cada derivada):
  • Derivada do numerador: f'(\theta)=\dfrac{d}{d\theta}\sin\theta=\cos\theta.
  • Derivada do denominador: g'(\theta)=\dfrac{d}{d\theta}\big(\theta+\tan\theta\big)=1+\dfrac{d}{d\theta}\tan\theta.
    E sabemos que \dfrac{d}{d\theta}\tan\theta=\operatorname{sec}^2\theta, onde \operatorname{sec}\theta é 1/\cos\theta. Logo
g'(\theta)=1+\operatorname{sec}^2\theta.

Passo 5

Aplicando l’Hôpital: o limite original é igual ao limite das derivadas,
\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta+\tan\theta} = \lim_{\theta\to 0}\frac{\cos\theta}{1+\operatorname{sec}^2\theta}.
Agora avaliamos esse limite em \theta=0. Sabemos que \cos 0=1 e \operatorname{sec} 0=1, portanto \operatorname{sec}^2 0=1. Substituindo obtemos
\frac{\cos 0}{1+\operatorname{sec}^2 0}=\frac{1}{1+1}.

Passo 6

(Método alternativo — útil para entender a intuição): aproximações de pequenas \theta (expansões de Taylor até a ordem relevante).
  • \sin\theta=\theta-\dfrac{\theta^3}{6}+o(\theta^3).
  • \tan\theta=\theta+\dfrac{\theta^3}{3}+o(\theta^3).
    Somando \theta+\tan\theta obtemos
\theta+\tan\theta=2\theta+\dfrac{\theta^3}{3}+o(\theta^3).
Dividindo \sin\theta por isso e fatorando \theta:
\frac{\sin\theta}{\theta+\tan\theta} =\frac{\theta\big(1-\dfrac{\theta^2}{6}+o(\theta^2)\big)}{\theta\big(2+\dfrac{\theta^2}{3}+o(\theta^2)\big)} =\frac{1-\dfrac{\theta^2}{6}+o(\theta^2)}{2+\dfrac{\theta^2}{3}+o(\theta^2)}.
Quando \theta\to 0 o numerador tende para 1 e o denominador para 2, levando ao mesmo resultado que obtivemos com l’Hôpital (a expressão em Passo 5 já mostrou a fração \dfrac{1}{1+1}).

Resposta

\dfrac{1}{2}

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