Encontre o limite
(\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} \theta}{\theta+\operatorname{tg} \theta})
(\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} \theta}{\theta+\operatorname{tg} \theta})
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão envolve funções trigonométricas
e . - O ponto de interesse é
. - Não há outros dados adicionais; precisamos analisar o comportamento da fração quando
se aproxima de .
Passo 2
Verificar substituição direta para ver se o limite é imediato ou uma indeterminação. Substituindo
:
logo o numerador vai para
e o denominador vai para
. Portanto a forma é
, que é uma indeterminação. Precisamos de uma técnica para resolver essa indeterminação.
Passo 3
Apresentando uma técnica padrão: regra de l’Hôpital. Explicando de forma simples e segura:
- A regra de l’Hôpital diz: se
e (ou ambas ), e e são diferenciáveis perto de com próximo de , então
desde que o limite do quociente das derivadas exista.
- Aqui temos
e . Ambas são diferenciáveis perto de e formam , então podemos aplicar l’Hôpital.
Passo 4
Calcular as derivadas necessárias (explicando cada derivada):
- Derivada do numerador:
. - Derivada do denominador:
.
E sabemos que, onde é . Logo
Passo 5
Aplicando l’Hôpital: o limite original é igual ao limite das derivadas,
Agora avaliamos esse limite em
. Sabemos que
e
, portanto
. Substituindo obtemos
Passo 6
(Método alternativo — útil para entender a intuição): aproximações de pequenas
(expansões de Taylor até a ordem relevante).
-
. -
.
Somandoobtemos
Dividindo
por isso e fatorando
:
Quando
o numerador tende para
e o denominador para
, levando ao mesmo resultado que obtivemos com l’Hôpital (a expressão em Passo 5 já mostrou a fração
).