Derive a função
(q) y=\cos ^{-1}\left(\sin ^{-1} t\right)

Passo 1

O enunciado dá a função y=\cos^{-1}\big(\sin^{-1} t\big) e pede para encontrar a derivada dy/dt.\n
Informações relevantes que temos desde já (sem resolver ainda):\n
\,1. A função interna é u(t)=\sin^{-1} t, cuja definição exige t\in[-1,1] e cujo valor principal pertence ao intervalo \big[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big].\n
\,2. A função externa é v(u)=\cos^{-1} u, que está definida somente para u\in[-1,1].\n
Portanto a composição só faz sentido quando \sin^{-1} t\in[-1,1]. Como \sin^{-1} é crescente, isso equivale a t\in[\sin(-1),\sin(1)]=[-\sin 1,\sin 1].

Passo 2

Vamos lembrar e deduzir a fórmula da derivada de \sin^{-1} x (isso é útil porque aparece na cadeia). Seja y=\sin^{-1} x. Por definição isso significa \sin y = x. Diferenciando ambos os lados em relação a x (usando diferenciação implícita) obtemos:
\cos y\cdot\frac{dy}{dx}=1.
Isolando \frac{dy}{dx} vem
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}.
Agora expressamos \cos y em função de x. Pela identidade trigonométrica \cos^2 y=1-\sin^2 y e como \sin y=x, temos \cos y=\sqrt{1-x^2} (escolhemos o sinal positivo porque para y=\sin^{-1}x temos y\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] onde o cosseno é não negativo). Logo
\frac{d}{dx}\big(\sin^{-1} x\big)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
Aqui cada símbolo significa: x é a variável de entrada, \sin^{-1}x é o arco-seno de x, e o denominador \sqrt{1-x^2} vem da relação trigonométrica básica.

Passo 3

Agora a derivada de \cos^{-1} x. Seja y=\cos^{-1} x. Então \cos y=x. Diferenciando em relação a x:
-\sin y\cdot\frac{dy}{dx}=1,
logo
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sin y}.
Expressando \sin y em função de x: \sin^2 y=1-\cos^2 y=1-x^2, e como para y=\cos^{-1}x temos y\in[0,\pi] em que \sin y\ge0, então \sin y=\sqrt{1-x^2}. Assim
\frac{d}{dx}\big(\cos^{-1} x\big)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
Explicando: o sinal negativo já aparece naturalmente da diferenciação implícita; o denominador é a mesma raiz que apareceu antes.

Passo 4

Regra da cadeia (a ferramenta que vai ligar as derivadas): se você tem uma composição y=f(g(t)), então
\frac{dy}{dt}=f'\big(g(t)\big)\cdot g'(t).
Interpretando: primeiro você deriva a função externa f avaliando em g(t), depois multiplica pela derivada da função interna g.

Passo 5

Aplicamos a regra da cadeia à nossa função. Defina u(t)=\sin^{-1} t e y(u)=\cos^{-1} u. Então y(t)=y\big(u(t)\big) e, pela cadeia,
\frac{dy}{dt}=y'\big(u(t)\big)\cdot u'(t).
Pelo Passo 3 temos, para argumento genérico u,
y'(u)=\frac{d}{du}\big(\cos^{-1} u\big)=-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}.
Pelo Passo 2 temos
u'(t)=\frac{d}{dt}\big(\sin^{-1} t\big)=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}.
Multiplicando:
\frac{dy}{dt}=-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}.
Finalmente substituímos u=\sin^{-1} t para voltar à variável t:
\frac{dy}{dt}=-\frac{1}{\sqrt{1-\big(\sin^{-1} t\big)^2}\,\sqrt{1-t^2}}.
Lembre-se do domínio: esta expressão é válida para t tais que a composição está definida e os denominadores são positivos, isto é para t\in(-\sin 1,\sin 1). Nos extremos t=\pm\sin 1 a derivada tende a ficar indefinida porque 1-(\sin^{-1}t)^2=0 aí.

Resposta

\frac{dy}{dt}=-\frac{1}{\sqrt{1-\big(\sin^{-1} t\big)^2}\,\sqrt{1-t^2}}

Exercícios relacionados