Derive a função
(q)
(q)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar a derivada
.\n
Informações relevantes que temos desde já (sem resolver ainda):\n
A função interna é
, cuja definição exige
e cujo valor principal pertence ao intervalo
.\n
A função externa é
, que está definida somente para
.\n
Portanto a composição só faz sentido quando
. Como
é crescente, isso equivale a
Passo 2
Vamos lembrar e deduzir a fórmula da derivada de
(isso é útil porque aparece na cadeia). Seja
. Por definição isso significa
. Diferenciando ambos os lados em relação a
(usando diferenciação implícita) obtemos:
Isolando
vem
Agora expressamos
em função de
. Pela identidade trigonométrica
e como
, temos
(escolhemos o sinal positivo porque para
temos
onde o cosseno é não negativo). Logo
Aqui cada símbolo significa:
é a variável de entrada,
é o arco-seno de
, e o denominador
vem da relação trigonométrica básica.
Passo 3
Agora a derivada de
. Seja
. Então
. Diferenciando em relação a
:
logo
Expressando
em função de
:
, e como para
temos
em que
, então
. Assim
Explicando: o sinal negativo já aparece naturalmente da diferenciação implícita; o denominador é a mesma raiz que apareceu antes.
Passo 4
Regra da cadeia (a ferramenta que vai ligar as derivadas): se você tem uma composição
, então
Interpretando: primeiro você deriva a função externa
avaliando em
, depois multiplica pela derivada da função interna
.
Passo 5
Aplicamos a regra da cadeia à nossa função. Defina
e
. Então
e, pela cadeia,
Pelo Passo 3 temos, para argumento genérico
,
Pelo Passo 2 temos
Multiplicando:
Finalmente substituímos
para voltar à variável
:
Lembre-se do domínio: esta expressão é válida para
tais que a composição está definida e os denominadores são positivos, isto é para
. Nos extremos
a derivada tende a ficar indefinida porque
aí.