Questão 8: Sejam V=\mathbb{R}^{\left(m_{4}+2\right) \times\left(m_{4}+2\right)},
W_{1}=\left\{\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{\left(m_{4}+2\right) \times\left(m_{4}+2\right)}: \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}^{T}\right\} \text { e } W_{2}=\left\{\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{\left(m_{4}+2\right) \times\left(m_{4}+2\right)}: \boldsymbol{A}=-\boldsymbol{A}^{T}\right\} .
(a) Mostre que W_{1}+W_{2} é uma soma direta. (b) Mostre que W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{\left(m_{4}+2\right) \times\left(m_{4}+2\right)}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes conjuntos e pede duas coisas:
  • Dados V=\mathbb{R}^{\left(m_{4}+2\right)\times\left(m_{4}+2\right)} e, para abreviar, defina n=m_{4}+2, ou seja \,V=\mathbb{R}^{n\times n}.
  • W_{1}=\{\boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^{n\times n}:\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}^{T}\} (matrizes simétricas).
  • W_{2}=\{\boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^{n\times n}:\boldsymbol{A}=-\boldsymbol{A}^{T}\} (matrizes antissimétricas ou enviesadas).
Perguntas:
(a) Mostrar que W_{1}+W_{2} é uma soma direta (ou seja, que a soma é direta).
(b) Mostrar que W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{n\times n} (ou seja, que toda matriz pode ser escrita como soma de uma simétrica e uma antissimétrica).
As informações relevantes do enunciado foram listadas acima. Não vou resolver nada ainda; a partir do próximo passo começo a provar cada item passo a passo.

Passo 2

Primeiro dou as definições e ideias que vou usar (é o “quê” e o “porquê” para a prova, explicadas bem devagar).
  • Definição de soma de subespaços: se U e W são subespaços de V, então
U+W=\{u+w\mid u\in U,\; w\in W\}.
  • Definição de soma direta: a soma U+W é direta (escreve-se U\oplus W) se e somente se U\cap W=\{0\}. Outra forma: cada vetor v\in U+W tem escrita única v=u+w.
  • Vou usar que \boldsymbol{A}^T é a transposta de \boldsymbol{A} e que (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^T=\boldsymbol{A}^T+\boldsymbol{B}^T e (c\boldsymbol{A})^T=c\boldsymbol{A}^T para escalar c.
Também vou mostrar, antes de tudo, que W_{1} e W_{2} são subespaços (fechamento e presença do zero), porque isso é necessário para falar de soma direta e soma.

Passo 3

Prova de que W_{1} e W_{2} são subespaços de V.
  • Primeiro W_{1}. Note que a matriz zero 0 satisfaz 0=0^{T}, logo 0\in W_{1}. Se \boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\in W_{1} então \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}^{T} e \boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}^{T}. Então
(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{T}=\boldsymbol{A}^{T}+\boldsymbol{B}^{T}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B},
logo \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}\in W_{1}. Para escalar c\in\mathbb{R},
(c\boldsymbol{A})^{T}=c\boldsymbol{A}^{T}=c\boldsymbol{A},
portanto c\boldsymbol{A}\in W_{1}. Assim W_{1} é subespaço.
  • Agora W_{2}. A matriz zero também satisfaz 0=-0^{T}, então 0\in W_{2}. Se \boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\in W_{2} então \boldsymbol{A}=-\boldsymbol{A}^{T} e \boldsymbol{B}=-\boldsymbol{B}^{T}. Logo
(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{T}=\boldsymbol{A}^{T}+\boldsymbol{B}^{T}=-(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}),
portanto \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}\in W_{2}. E para escalar c,
(c\boldsymbol{A})^{T}=c\boldsymbol{A}^{T}=c(-\boldsymbol{A})=-(c\boldsymbol{A}),
então c\boldsymbol{A}\in W_{2}. Assim W_{2} é subespaço.
Conclusão: W_{1} e W_{2} são subespaços de V, então faz sentido formar W_{1}+W_{2} e falar de soma direta.

Passo 4

Prova de que W_{1}\cap W_{2}=\{0\} (isto levará ao item (a)).
Pegue \boldsymbol{A}\in W_{1}\cap W_{2}. Então \boldsymbol{A} satisfaz simultaneamente
\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}^{T}\quad\text{(porque \(\boldsymbol{A}\in W_{1}\))},
e
\boldsymbol{A}=-\boldsymbol{A}^{T}\quad\text{(porque \(\boldsymbol{A}\in W_{2}\))}.
Comparando as duas igualdades, obtemos
\boldsymbol{A}=-\boldsymbol{A}.
Somando \boldsymbol{A} dos dois lados vem 2\boldsymbol{A}=0. Como trabalhamos sobre \mathbb{R}, isto implica \boldsymbol{A}=0.
Portanto a única matriz na interseção é a matriz zero, ou seja
W_{1}\cap W_{2}=\{0\}.

Passo 5

Conclusão do item (a): como W_{1}\cap W_{2}=\{0\} e ambos são subespaços, a soma W_{1}+W_{2} é direta. Em símbolos:
W_{1}+W_{2}=W_{1}\oplus W_{2}.
Interpretando para a prova: qualquer decomposição \boldsymbol{A}=\boldsymbol{S}+\boldsymbol{K} com \boldsymbol{S}\in W_{1} e \boldsymbol{K}\in W_{2} é única (porque se houvesse outra, a diferença estaria na interseção que é zero).

Passo 6

Prova do item (b): toda matriz \boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^{n\times n} pode ser escrita como soma de uma simétrica e uma antissimétrica. Vou construir explicitamente essa decomposição e verificar que funciona.
Considere as matrizes
\boldsymbol{S}=\tfrac{1}{2}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{T}) \qquad\text{e}\qquad \boldsymbol{K}=\tfrac{1}{2}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^{T}).
Mostro que \boldsymbol{S}\in W_{1}, \boldsymbol{K}\in W_{2} e \boldsymbol{S}+\boldsymbol{K}=\boldsymbol{A}.
  • Verificação de que \boldsymbol{S} é simétrica:
\boldsymbol{S}^{T}=\left(\tfrac{1}{2}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{T})\right)^{T}=\tfrac{1}{2}(\boldsymbol{A}^{T}+(\boldsymbol{A}^{T})^{T})=\tfrac{1}{2}(\boldsymbol{A}^{T}+\boldsymbol{A})=\boldsymbol{S}.
Logo \boldsymbol{S}=\boldsymbol{S}^{T}, ou seja \boldsymbol{S}\in W_{1}.
  • Verificação de que \boldsymbol{K} é antissimétrica:
\boldsymbol{K}^{T}=\left(\tfrac{1}{2}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^{T})\right)^{T}=\tfrac{1}{2}(\boldsymbol{A}^{T}-(\boldsymbol{A}^{T})^{T})=\tfrac{1}{2}(\boldsymbol{A}^{T}-\boldsymbol{A})=-\tfrac{1}{2}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^{T})=-\boldsymbol{K}.
Portanto \boldsymbol{K}=-\boldsymbol{K}^{T}, ou seja \boldsymbol{K}\in W_{2}.
  • Soma das partes:
\boldsymbol{S}+\boldsymbol{K}=\tfrac{1}{2}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{T})+\tfrac{1}{2}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^{T}) =\tfrac{1}{2}(2\boldsymbol{A})=\boldsymbol{A}.
Assim qualquer \boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^{n\times n} é soma de um elemento de W_{1} e um de W_{2}, logo
W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{n\times n}.

Passo 7

Comentário extra (útil para prova): a decomposição acima é única por causa do Passo 4 — se existissem duas decomposições, a diferença entre as duas escolhas de simétrica (resp. antissimétrica) estaria em W_{1}\cap W_{2}=\{0\}. Outra verificação rápida de consistência é por dimensão: \dim W_{1}=\tfrac{n(n+1)}{2} e \dim W_{2}=\tfrac{n(n-1)}{2}, cuja soma é n^{2}=\dim V, o que confirma que a soma direta preenche todo o espaço.

Resposta

(a) W_{1}+W_{2} é soma direta porque W_{1}\cap W_{2}=\{0\}.
(b) W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{\left(m_{4}+2\right)\times\left(m_{4}+2\right)}, pois para toda \boldsymbol{A} temos \boldsymbol{A}=\tfrac{1}{2}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{T})+\tfrac{1}{2}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^{T}) com \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{T})\in W_{1} e \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^{T})\in W_{2}.

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