Questão 8: Sejam
,
(a) Mostre que
é uma soma direta. (b) Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes conjuntos e pede duas coisas:
- Dados
e, para abreviar, defina , ou seja . -
(matrizes simétricas). -
(matrizes antissimétricas ou enviesadas).
Perguntas:
(a) Mostrar que é uma soma direta (ou seja, que a soma é direta).
(b) Mostrar que (ou seja, que toda matriz pode ser escrita como soma de uma simétrica e uma antissimétrica).
(a) Mostrar que
(b) Mostrar que
As informações relevantes do enunciado foram listadas acima. Não vou resolver nada ainda; a partir do próximo passo começo a provar cada item passo a passo.
Passo 2
Primeiro dou as definições e ideias que vou usar (é o “quê” e o “porquê” para a prova, explicadas bem devagar).
- Definição de soma de subespaços: se
e são subespaços de , então
- Definição de soma direta: a soma
é direta (escreve-se ) se e somente se . Outra forma: cada vetor tem escrita única . - Vou usar que
é a transposta de e que e para escalar .
Também vou mostrar, antes de tudo, que
e
são subespaços (fechamento e presença do zero), porque isso é necessário para falar de soma direta e soma.
Passo 3
Prova de que
e
são subespaços de
.
- Primeiro
. Note que a matriz zero satisfaz , logo . Se então e . Então
logo
. Para escalar
,
portanto
. Assim
é subespaço.
- Agora
. A matriz zero também satisfaz , então . Se então e . Logo
portanto
. E para escalar
,
então
. Assim
é subespaço.
Conclusão:
e
são subespaços de
, então faz sentido formar
e falar de soma direta.
Passo 4
Prova de que
(isto levará ao item (a)).
Pegue
. Então
satisfaz simultaneamente
e
Comparando as duas igualdades, obtemos
Somando
dos dois lados vem
. Como trabalhamos sobre
, isto implica
.
Portanto a única matriz na interseção é a matriz zero, ou seja
Passo 5
Conclusão do item (a): como
e ambos são subespaços, a soma
é direta. Em símbolos:
Interpretando para a prova: qualquer decomposição
com
e
é única (porque se houvesse outra, a diferença estaria na interseção que é zero).
Passo 6
Prova do item (b): toda matriz
pode ser escrita como soma de uma simétrica e uma antissimétrica. Vou construir explicitamente essa decomposição e verificar que funciona.
Considere as matrizes
Mostro que
,
e
.
- Verificação de que
é simétrica:
Logo
, ou seja
.
- Verificação de que
é antissimétrica:
Portanto
, ou seja
.
- Soma das partes:
Assim qualquer
é soma de um elemento de
e um de
, logo
Passo 7
Comentário extra (útil para prova): a decomposição acima é única por causa do Passo 4 — se existissem duas decomposições, a diferença entre as duas escolhas de simétrica (resp. antissimétrica) estaria em
. Outra verificação rápida de consistência é por dimensão:
e
, cuja soma é
, o que confirma que a soma direta preenche todo o espaço.
Resposta
(a)
é soma direta porque
.
(b) , pois para toda
temos
com
e
.
(b)