DERIVE AS FUNÇÕES ABAIXO.
f(x)=\ln (\sin (x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\ln\bigl(\sin(x)\bigr).
O conteúdo aqui é a regra da cadeia para funções compostas: primeiro derivamos o logaritmo e depois a função interna.

Passo 2

Lembramos que, se g(u)=\ln(u), então
g'(u)=\frac{1}{u}.
Aplicando isso a u=\sin(x), temos que a derivada de \ln(\sin(x)) é
\frac{1}{\sin(x)}\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\sin(x)\bigr].

Passo 3

Agora calculamos a derivada de \sin(x). Sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl[\sin(x)\bigr]=\cos(x).

Passo 4

Substituindo na expressão do passo anterior, obtemos
f'(x)=\frac{1}{\sin(x)}\cdot\cos(x) =\frac{\cos(x)}{\sin(x)}.
Reconhecemos que \cos(x)/\sin(x) é a função \cot(x).

Resposta

f'(x)=\cot(x).

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