Derive as funções abaixo:
f(x)=\operatorname{sen}(\ln x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{sen}(\ln x).
O conteúdo principal aqui é a aplicação da regra da cadeia para derivar uma função composta.

Passo 2

Vamos reescrever f como composta de duas funções mais simples:
g(x)=\ln x e h(u)=\operatorname{sen}(u), de modo que
f(x)=h\bigl(g(x)\bigr).

Passo 3

Derivamos cada parte separadamente:
  • A derivada de g(x)=\ln x é
g'(x)=\frac{1}{x}.
  • A derivada de h(u)=\operatorname{sen}(u) em relação a u é
h'(u)=\cos(u).

Passo 4

Pela regra da cadeia,
f'(x)=h'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Substituindo g(x)=\ln x, h'(u)=\cos(u) e g'(x)=1/x, obtemos
f'(x)=\cos\bigl(\ln x\bigr)\;\cdot\;\frac{1}{x} =\frac{\cos(\ln x)}{x}.

Resposta

f'(x)=\frac{\cos(\ln x)}{x}.

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