DERIVE AS FUNÇÕES ABAIXO.
f(x)=\sqrt{x} \ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=\sqrt{x}\,\ln(x).
Aqui vamos usar a regra do produto e a regra da potência (para \sqrt{x}=x^{1/2}).

Passo 2

Reescrevendo em potências, temos
f(x)=x^{1/2}\,\ln(x).

Passo 3

Definimos
u(x)=x^{1/2},\quad v(x)=\ln(x).
Então
u'(x)=\tfrac12\,x^{-1/2},\quad v'(x)=\tfrac1x.

Passo 4

Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =\frac12\,x^{-1/2}\,\ln(x)+x^{1/2}\,\frac1x.

Passo 5

Agora simplificamos cada termo:
\frac12\,x^{-1/2}\,\ln(x)=\frac{\ln(x)}{2\sqrt{x}}, \qquad x^{1/2}\,\frac1x=\frac1{\sqrt{x}}=\frac{2}{2\sqrt{x}},
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f'(x)=\frac{\ln(x)}{2\sqrt{x}}+\frac{2}{2\sqrt{x}} =\frac{\ln(x)+2}{2\sqrt{x}}.

Resposta

f'(x)=\frac{\ln(x)+2}{2\sqrt{x}}.

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