DERIVE AS FUNÇÕES ABAIXO.
f(x)=\tan (x) e^{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\tan(x)\,e^{x}. O conteúdo é derivadas de funções, em particular a regra do produto, e as derivadas de \tan(x) e de e^{x}.

Passo 2

Seja
u(x)=\tan(x) \quad\text{e}\quad v(x)=e^{x}.
Sabemos que
u'(x)=\frac{d}{dx}\tan(x)=\operatorname{sec}^{2}(x),
v'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.

Passo 3

Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u, u', v e v',
f'(x)=\operatorname{sec}^{2}(x)\,e^{x}+\tan(x)\,e^{x} =e^{x}\bigl(\operatorname{sec}^{2}(x)+\tan(x)\bigr).

Resposta

f'(x)=e^{x}\bigl(\tan(x)+\operatorname{sec}^{2}(x)\bigr).

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