Derive as funções abaixo:
g(x)=\frac{\sqrt{x}+2}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
g(x)=\frac{\sqrt{x}+2}{x^{2}-4}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função no numerador é \sqrt{x}+2, que também pode ser escrita como x^{1/2}+2.
  • O denominador é x^{2}-4.
  • Domínio natural da função original: \,x\ge 0 (por causa de \sqrt{x}) e além disso x\neq 2 (para evitar divisão por zero). Portanto a função está definida em [0,\infty)\setminus\{2\}.
    A tarefa: encontrar g'(x), a derivada de g.

Passo 2

Revisando as regras que vamos usar (bem devagar, explicando tudo):
  • Regra da potência: para h(x)=x^{n} com n constante, tem-se
h'(x)=n x^{n-1}.
Aqui isso vale para x^{1/2}, então a derivada de x^{1/2} será \tfrac{1}{2}x^{-1/2}, que também escrevemos como \dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Regra do quociente: se g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u e v diferenciáveis e v(x)\neq 0, então
g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Nesta fórmula: u(x) é o numerador, v(x) o denominador; u'(x) e v'(x) são as respectivas derivadas. Vamos aplicar essa regra ao nosso caso.

Passo 3

Identificamos u e v e calculamos suas derivadas:
u(x)=\sqrt{x}+2 = x^{1/2}+2, \qquad v(x)=x^{2}-4.
Derivando termo a termo:
  • Derivada de u(x):
u'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
(Explicando: aplicou-se a regra da potência com n=\tfrac{1}{2}.)
  • Derivada de v(x):
v'(x)=2x.
(Explicando: aplicou-se a regra da potência com n=2.)

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} = \frac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\,(x^{2}-4) - (x^{1/2}+2)\,(2x)}{(x^{2}-4)^{2}}.
Neste momento temos uma expressão correta, mas ainda dá para simplificar o numerador para ficar mais claro.

Passo 5

Vamos simplificar o numerador passo a passo. Primeiro escrevemos a parte subtraída explicitamente:
\text{num}=\frac{x^{2}-4}{2\sqrt{x}} - 2x\,(x^{1/2}+2).
Calculemos a segunda parcela:
2x\,(x^{1/2}+2)=2x\cdot x^{1/2}+2x\cdot 2 = 2x^{3/2}+4x.
Para somar/subtrair frações convenientemente, colocamos tudo sobre o mesmo denominador 2\sqrt{x}. A segunda parcela, multiplicada por \dfrac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}, fica
2x^{3/2}+4x = \frac{4x^{2}+8x\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}.
(Explicando: (2x^{3/2}+4x)\cdot\frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \frac{4x^{3/2}\sqrt{x}+8x\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \frac{4x^{2}+8x\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}, pois x^{3/2}\sqrt{x}=x^2.)
Agora subtraímos as frações com denominador comum 2\sqrt{x}:
\text{num}=\frac{x^{2}-4}{2\sqrt{x}} - \frac{4x^{2}+8x\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \frac{x^{2}-4 - (4x^{2}+8x\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}.
Simplificando o numerador interno:
x^{2}-4 -4x^{2}-8x\sqrt{x} = -3x^{2} -8x\sqrt{x} -4.
Portanto
\text{num}=\frac{-3x^{2} -8x\sqrt{x} -4}{2\sqrt{x}}.

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da derivada:
g'(x)=\frac{\text{num}}{(x^{2}-4)^{2}} = \frac{-3x^{2} -8x\sqrt{x} -4}{2\sqrt{x}\,(x^{2}-4)^{2}}.
Podemos, se quisermos, colocar o sinal negativo em evidência:
g'(x)=-\frac{3x^{2}+8x\sqrt{x}+4}{2\sqrt{x}\,(x^{2}-4)^{2}}.
Observação sobre domínio da derivada: a expressão final possui \sqrt{x} no denominador, portanto a derivada não está definida em x=0. Logo g'(x) existe para x>0 com x\neq 2. Em x=0 a função original está definida, mas não é diferenciável ali.

Resposta

g'(x)=-\frac{3x^{2}+8x\sqrt{x}+4}{2\sqrt{x}\,(x^{2}-4)^{2}}

Exercícios relacionados