Derive as funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função no numerador é
, que também pode ser escrita como . - O denominador é
. - Domínio natural da função original:
(por causa de ) e além disso (para evitar divisão por zero). Portanto a função está definida em .
A tarefa: encontrar, a derivada de .
Passo 2
Revisando as regras que vamos usar (bem devagar, explicando tudo):
- Regra da potência: para
com constante, tem-se
Aqui isso vale para
, então a derivada de
será
, que também escrevemos como
.
- Regra do quociente: se
com e diferenciáveis e , então
Nesta fórmula:
é o numerador,
o denominador;
e
são as respectivas derivadas. Vamos aplicar essa regra ao nosso caso.
Passo 3
Identificamos
e
e calculamos suas derivadas:
Derivando termo a termo:
- Derivada de
:
(Explicando: aplicou-se a regra da potência com
.)
- Derivada de
:
(Explicando: aplicou-se a regra da potência com
.)
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Neste momento temos uma expressão correta, mas ainda dá para simplificar o numerador para ficar mais claro.
Passo 5
Vamos simplificar o numerador passo a passo. Primeiro escrevemos a parte subtraída explicitamente:
Calculemos a segunda parcela:
Para somar/subtrair frações convenientemente, colocamos tudo sobre o mesmo denominador
. A segunda parcela, multiplicada por
, fica
(Explicando:
, pois
.)
Agora subtraímos as frações com denominador comum
:
Simplificando o numerador interno:
Portanto
Passo 6
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Podemos, se quisermos, colocar o sinal negativo em evidência:
Observação sobre domínio da derivada: a expressão final possui
no denominador, portanto a derivada não está definida em
. Logo
existe para
com
. Em
a função original está definida, mas não é diferenciável ali.