Derive as funções abaixo:
f(x)=\left(3 x^{2}-5 x\right)\left(x^{3}+1\right)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede: a função dada é f(x)=\left(3 x^{2}-5 x\right)\left(x^{3}+1\right). O pedido é achar a derivada f'(x), ou seja, a função que fornece a taxa de variação de f em relação a x. Não há outras condições; só precisamos derivar essa expressão.

Passo 2

Escolha do método e regra a usar: aqui temos um produto de duas funções de x. A forma mais direta é usar a regra do produto. Sejam
u(x)=3x^{2}-5x
e
v(x)=x^{3}+1.
A regra do produto diz que a derivada de u(x)v(x) é
(uv)'=u'v+uv'.
Intuição curta e amigável: derive uma das partes (mantendo a outra) e some com a parte em que você deriva a outra (mantendo a primeira). Simples e confiável na prova.

Passo 3

Derivar u(x): vamos usar a regra do poder (power rule) e a linearidade.
A regra do poder afirma que, para n constante inteira positiva, \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Se houver um coeficiente constante a, então \dfrac{d}{dx}(a x^{n})=a n x^{n-1}. Além disso, a derivada de uma soma é a soma das derivadas e a derivada de uma constante multiplicada por x é a constante.
Aplicando em u(x)=3x^{2}-5x:
u'(x)=\frac{d}{dx}(3x^{2})-\frac{d}{dx}(5x)=3\cdot 2 x^{1}-5=6x-5.

Passo 4

Derivar v(x): v(x)=x^{3}+1. Pela regra do poder,
\frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2},
e a derivada da constante 1 é 0. Logo
v'(x)=3x^{2}+0=3x^{2}.

Passo 5

Aplicar a regra do produto substituindo u,u',v,v':
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo os resultados:
f'(x)=(6x-5)(x^{3}+1)+(3x^{2}-5x)(3x^{2}).
Agora vamos desenvolver e simplificar passo a passo (isso é útil na prova para obter uma forma polinomial limpa):
Primeiro termo:
(6x-5)(x^{3}+1)=6x\cdot x^{3}+6x\cdot 1-5\cdot x^{3}-5\cdot 1=6x^{4}-5x^{3}+6x-5.
Segundo termo:
(3x^{2}-5x)(3x^{2})=3x^{2}\cdot 3x^{2}-5x\cdot 3x^{2}=9x^{4}-15x^{3}.
Somando os dois termos:
f'(x)=(6x^{4}-5x^{3}+6x-5)+(9x^{4}-15x^{3})=15x^{4}-20x^{3}+6x-5.

Passo 6

Verificação alternativa (opcional, mas boa pra prova): expandir primeiro f(x) e depois derivar deve dar o mesmo resultado.
Expandindo:
f(x)=(3x^{2}-5x)(x^{3}+1)=3x^{5}-5x^{4}+3x^{2}-5x.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}(3x^{5})=15x^{4},\qquad \frac{d}{dx}(-5x^{4})=-20x^{3},
\frac{d}{dx}(3x^{2})=6x,\qquad \frac{d}{dx}(-5x)=-5.
Somando:
f'(x)=15x^{4}-20x^{3}+6x-5,
que confirma o resultado anterior. Excelente — consistência é sinal de que está tudo certo!

Resposta

f'(x)=15x^{4}-20x^{3}+6x-5

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