Derive as funções abaixo:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede: a função dada é
. O pedido é achar a derivada
, ou seja, a função que fornece a taxa de variação de
em relação a
. Não há outras condições; só precisamos derivar essa expressão.
Passo 2
Escolha do método e regra a usar: aqui temos um produto de duas funções de
. A forma mais direta é usar a regra do produto. Sejam
e
A regra do produto diz que a derivada de
é
Intuição curta e amigável: derive uma das partes (mantendo a outra) e some com a parte em que você deriva a outra (mantendo a primeira). Simples e confiável na prova.
Passo 3
Derivar
: vamos usar a regra do poder (power rule) e a linearidade.
A regra do poder afirma que, para constante inteira positiva,
. Se houver um coeficiente constante
, então
. Além disso, a derivada de uma soma é a soma das derivadas e a derivada de uma constante multiplicada por
é a constante.
Aplicando em :
A regra do poder afirma que, para
Aplicando em
Passo 4
Derivar
:
. Pela regra do poder,
e a derivada da constante
é
. Logo
Passo 5
Aplicar a regra do produto substituindo
:
Substituindo os resultados:
Agora vamos desenvolver e simplificar passo a passo (isso é útil na prova para obter uma forma polinomial limpa):
Primeiro termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Somando os dois termos:
Passo 6
Verificação alternativa (opcional, mas boa pra prova): expandir primeiro
e depois derivar deve dar o mesmo resultado.
Expandindo:
Expandindo:
Derivando termo a termo:
Somando:
que confirma o resultado anterior. Excelente — consistência é sinal de que está tudo certo!