Derive as funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para derivá‑la, ou seja, encontrar
(a derivada de
em relação a
). Informações relevantes: o expoente é
, a expressão interna é
e precisamos aplicar regras de diferenciação para funções compostas.
Passo 2
Conceito importante que usaremos: a regra da cadeia para potência. Se temos uma função composta
, a derivada é
Aqui
é a função interna (dependente de
) e
é um número constante. Essa fórmula é a combinação da regra da potência com a regra da cadeia: primeiro derivamos a potência tratando
como variável, depois multiplicamos pela derivada da parte interna
.
Passo 3
Identificamos a função externa e a função interna:
Vamos precisar de
. Como
, a derivada do termo constante
é
e a derivada de
é
. Portanto,
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia da Passo 2 com
e
identificados:
Substituindo
e
,
Passo 5
Agora simplificamos os fatores numéricos:
. Então
A potência
é a mesma coisa que
, porque expoente
significa recíproco de raiz quadrada. Assim podemos escrever a derivada na forma mais usual:
Comentário prático: essa forma é conveniente na prova — ela mostra claramente que, para
, a derivada vale
e que o denominador está definido para todo
real, já que
. Se quiseres treinar, tenta derivar
seguindo os mesmos passos (vai ficar
) — é a mesma ideia.