Derive as funções abaixo:
3.6 y=\left(2+x^{2}\right)^{0,5}

Passo 1

O enunciado dá a função \;y=\left(2+x^{2}\right)^{0,5}\; e pede para derivá‑la, ou seja, encontrar \dfrac{dy}{dx} (a derivada de y em relação a x). Informações relevantes: o expoente é \;0,5\;, a expressão interna é \;2+x^{2}\; e precisamos aplicar regras de diferenciação para funções compostas.

Passo 2

Conceito importante que usaremos: a regra da cadeia para potência. Se temos uma função composta \;y = u(x)^{n}\;, a derivada é
\frac{dy}{dx}=n\,u(x)^{\,n-1}\cdot\frac{du}{dx}.
Aqui u(x) é a função interna (dependente de x) e n é um número constante. Essa fórmula é a combinação da regra da potência com a regra da cadeia: primeiro derivamos a potência tratando u como variável, depois multiplicamos pela derivada da parte interna u(x).

Passo 3

Identificamos a função externa e a função interna:
u(x)=2+x^{2},\qquad n=0,5.
Vamos precisar de \dfrac{du}{dx}. Como u(x)=2+x^{2}, a derivada do termo constante 2 é 0 e a derivada de x^{2} é 2x. Portanto,
\frac{du}{dx}=2x.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia da Passo 2 com u(x) e n identificados:
\frac{dy}{dx}=0,5\;u(x)^{0,5-1}\cdot\frac{du}{dx}.
Substituindo u(x)=2+x^{2} e \dfrac{du}{dx}=2x,
\frac{dy}{dx}=0,5\,(2+x^{2})^{-0,5}\cdot(2x).

Passo 5

Agora simplificamos os fatores numéricos: 0,5\cdot 2x = x. Então
\frac{dy}{dx}=x\,(2+x^{2})^{-0,5}.
A potência (2+x^{2})^{-0,5} é a mesma coisa que 1/\sqrt{2+x^{2}}, porque expoente -0,5 significa recíproco de raiz quadrada. Assim podemos escrever a derivada na forma mais usual:
\frac{dy}{dx}=\frac{x}{\sqrt{2+x^{2}}}.
Comentário prático: essa forma é conveniente na prova — ela mostra claramente que, para x=0, a derivada vale 0 e que o denominador está definido para todo x real, já que 2+x^{2}>0. Se quiseres treinar, tenta derivar \;y=(3+x^{2})^{0,5}\; seguindo os mesmos passos (vai ficar \;y'=\dfrac{x}{\sqrt{3+x^{2}}}) — é a mesma ideia.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{x}{\sqrt{2+x^{2}}}

Exercícios relacionados