Derive as funções abaixo:
3.8 y=4 e^{2 x}-5 \ln x

Passo 1

O enunciado dá a função y em termos de x e pede que a derivemos em relação a x.
Dados fornecidos: \;y=4e^{2x}-5\ln x.
O que é pedido: calcular \dfrac{dy}{dx} (ou y'), a derivada da função em termos de x.

Passo 2

Observação útil antes de calcular: a derivada é linear, isto é, a derivada da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas. Mais formalmente,
\frac{d}{dx}\big( a(x)+b(x)\big)=\frac{d}{dx}a(x)+\frac{d}{dx}b(x).
Aqui podemos aplicar isso para separar os termos:
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\big(4e^{2x}\big)-\frac{d}{dx}\big(5\ln x\big).

Passo 3

Explicando a derivada do termo exponencial: para uma função da forma e^{u(x)} vale a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}\cdot u'(x),
onde u'(x) é a derivada de u(x). Aqui u(x)=2x, portanto u'(x)=2.

Passo 4

Aplicando o que vimos ao primeiro termo 4e^{2x}: a constante multiplicativa pode sair da derivada. Assim
\frac{d}{dx}\big(4e^{2x}\big)=4\cdot\frac{d}{dx}e^{2x}=4\cdot e^{2x}\cdot(2)=8e^{2x}.
Expliquei: tirei o 4 para fora e usei que \frac{d}{dx}e^{2x}=e^{2x}\cdot 2.

Passo 5

Agora o termo logarítmico: a derivada de \ln x (logaritmo natural) é
\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x},
válida para x>0. Como temos um fator constante -5, aplicamos a propriedade da constante:
\frac{d}{dx}\big(5\ln x\big)=5\cdot\frac{d}{dx}\ln x=5\cdot\frac{1}{x}=\frac{5}{x}.
Portanto, com o sinal negativo do enunciado,
\frac{d}{dx}\big(-5\ln x\big)=-\frac{5}{x}.

Passo 6

Agora juntamos os resultados das duas parcelas (lembre que já separamos no Passo 2):
\frac{dy}{dx}=8e^{2x}-\frac{5}{x}.

Passo 7

Comentário sobre domínio: a expressão da derivada só faz sentido para x>0 por causa do termo \ln x e do 1/x. Então a derivada válida é dada para x>0.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=8e^{2x}-\dfrac{5}{x}

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