Derive as funções abaixo:
3.8
3.8
Passo 1
O enunciado dá a função
em termos de
e pede que a derivemos em relação a
.
Dados fornecidos: .
O que é pedido: calcular (ou
), a derivada da função em termos de
.
Dados fornecidos:
O que é pedido: calcular
Passo 2
Observação útil antes de calcular: a derivada é linear, isto é, a derivada da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas. Mais formalmente,
Aqui podemos aplicar isso para separar os termos:
Passo 3
Explicando a derivada do termo exponencial: para uma função da forma
vale a regra da cadeia:
onde
é a derivada de
. Aqui
, portanto
.
Passo 4
Aplicando o que vimos ao primeiro termo
: a constante multiplicativa pode sair da derivada. Assim
Expliquei: tirei o
para fora e usei que
.
Passo 5
Agora o termo logarítmico: a derivada de
(logaritmo natural) é
válida para
. Como temos um fator constante
, aplicamos a propriedade da constante:
Portanto, com o sinal negativo do enunciado,
Passo 6
Agora juntamos os resultados das duas parcelas (lembre que já separamos no Passo 2):
Passo 7
Comentário sobre domínio: a expressão da derivada só faz sentido para
por causa do termo
e do
. Então a derivada válida é dada para
.