Derive as funçōes conforme indicado:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede
, a derivada de
. Informações relevantes:
- A expressão contém
(a raiz quadrada de ), por isso a função está naturalmente definida para (vamos trabalhar principalmente para , onde a derivada fica mais simples). - O que se pede é a derivada em termos de
, isto é, uma fórmula que permita calcular para qualquer no domínio apropriado.
Passo 2
Vamos usar a regra do produto. Se tivermos duas funções
e
, o produto
tem derivada dada por
Aqui escolhemos
Significado dos símbolos:
-
é a derivada de em relação a . -
é a derivada de em relação a .
A regra do produto diz que derivamos uma das partes deixando a outra intacta, e somamos o resultado obtido trocando as derivadas.
Passo 3
Calculando
. Usamos a regra da potência: se
então
Aplicando com
:
Isto equivale a
para
.
Passo 4
Calculando
.
é um polinômio; derivada termo a termo:
Portanto
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Substituindo
:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão. Fatoramos
(que é comum se escrever
):
Agora expandimos o colchete passo a passo:
Somando:
Calculando os coeficientes:
Logo o conteúdo do colchete é
. Assim
Fatorando
fica mais compacto:
Reescrevendo com raiz:
válido para
.
Passo 7
Checagem alternativa (opcional, para ver que batem): expandir
primeiro:
Derivando termo a termo com a regra da potência:
Somando:
Fatorando
nesta forma também recupera a expressão do passo anterior, confirmando que tudo está correto.
Passo 8
Observações finais e incentivo:
- A forma mais prática e comum é a simplificada
, que permite calcular rapidamente para qualquer . - Não desanime: praticando esse padrão (identificar produto, aplicar regra, simplificar) você vai fazer isso rápido na prova. Força — tá indo bem!