Derive as funçōes conforme indicado:
f(x)=x^{\frac{1}{2}}\left(x^{2}+x-4\right), \quad f^{\prime}(x)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{\frac{1}{2}}\bigl(x^{2}+x-4\bigr)
e pede f'(x), a derivada de f. Informações relevantes:
  • A expressão contém x^{\frac{1}{2}} (a raiz quadrada de x), por isso a função está naturalmente definida para x\ge 0 (vamos trabalhar principalmente para x>0, onde a derivada fica mais simples).
  • O que se pede é a derivada em termos de x, isto é, uma fórmula que permita calcular f'(x) para qualquer x no domínio apropriado.

Passo 2

Vamos usar a regra do produto. Se tivermos duas funções u(x) e v(x), o produto u(x)\,v(x) tem derivada dada por
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui escolhemos
u(x)=x^{\frac{1}{2}},\qquad v(x)=x^{2}+x-4.
Significado dos símbolos:
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x.
  • v'(x) é a derivada de v em relação a x.
    A regra do produto diz que derivamos uma das partes deixando a outra intacta, e somamos o resultado obtido trocando as derivadas.

Passo 3

Calculando u'(x). Usamos a regra da potência: se g(x)=x^{n} então
g'(x)=n\,x^{n-1}.
Aplicando com n=\tfrac{1}{2}:
u'(x)=\frac{1}{2}\,x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}\,x^{-\frac{1}{2}}.
Isto equivale a \dfrac{1}{2\sqrt{x}} para x>0.

Passo 4

Calculando v'(x). v(x)=x^{2}+x-4 é um polinômio; derivada termo a termo:
\frac{d}{dx}(x^{2})=2x,\qquad \frac{d}{dx}(x)=1,\qquad \frac{d}{dx}(-4)=0.
Portanto
v'(x)=2x+1.

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
f'(x)=\frac{1}{2}\,x^{-\frac{1}{2}}\bigl(x^{2}+x-4\bigr)+x^{\frac{1}{2}}(2x+1).

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão. Fatoramos x^{-\frac{1}{2}} (que é comum se escrever x^{\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{2}}\cdot x):
f'(x)=x^{-\frac{1}{2}}\left[\frac{1}{2}\bigl(x^{2}+x-4\bigr)+x(2x+1)\right].
Agora expandimos o colchete passo a passo:
\frac{1}{2}\bigl(x^{2}+x-4\bigr)=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x-2,
x(2x+1)=2x^{2}+x.
Somando:
\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x-2 + 2x^{2}+x = \left(\frac{1}{2}+2\right)x^{2}+\left(\frac{1}{2}+1\right)x-2.
Calculando os coeficientes:
\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2},\qquad \frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}.
Logo o conteúdo do colchete é \dfrac{5}{2}x^{2}+\dfrac{3}{2}x-2. Assim
f'(x)=x^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{5}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x-2\right).
Fatorando \tfrac{1}{2} fica mais compacto:
f'(x)=\frac{1}{2}\,x^{-\frac{1}{2}}\bigl(5x^{2}+3x-4\bigr).
Reescrevendo com raiz:
f'(x)=\frac{5x^{2}+3x-4}{2\sqrt{x}},
válido para x>0.

Passo 7

Checagem alternativa (opcional, para ver que batem): expandir f(x) primeiro:
f(x)=x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{2}+x^{\frac{1}{2}}\cdot x -4x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{5}{2}}+x^{\frac{3}{2}}-4x^{\frac{1}{2}}.
Derivando termo a termo com a regra da potência:
\frac{d}{dx}x^{\frac{5}{2}}=\frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}},\qquad \frac{d}{dx}x^{\frac{3}{2}}=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}},\qquad \frac{d}{dx}(-4x^{\frac{1}{2}})=-4\cdot\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=-2x^{-\frac{1}{2}}.
Somando:
f'(x)=\frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}+\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-2x^{-\frac{1}{2}}.
Fatorando x^{-\frac{1}{2}} nesta forma também recupera a expressão do passo anterior, confirmando que tudo está correto.

Passo 8

Observações finais e incentivo:
  • A forma mais prática e comum é a simplificada \dfrac{5x^{2}+3x-4}{2\sqrt{x}}, que permite calcular rapidamente f'(x) para qualquer x>0.
  • Não desanime: praticando esse padrão (identificar produto, aplicar regra, simplificar) você vai fazer isso rápido na prova. Força — tá indo bem!

Resposta

\dfrac{5x^{2}+3x-4}{2\sqrt{x}}

Exercícios relacionados