Achar uma representação por meio de séries de potências centrada em
, das seguintes funções
1.)
, em potências de
1.)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma representação por séries de potências centrada em
para a função
, especificamente em potências de
.
Dados relevantes:
Dados relevantes:
- A função é
. - O centro pedido é
. - Queremos uma série em potências de
, isto é, algo da forma .
O objetivo final é obter explicitamente os coeficientese a região de convergência desta série.
Passo 2
Ideia simples e direta (usar a série geométrica): faça a mudança
. Então
Lembrete da série geométrica: para
vale
Substituindo
(ou seja, usando
) obtemos, para
,
Passo 3
Voltando à variável original
(lembre:
), ficamos com a série procurada:
Escrevendo os primeiros termos:
Esta é a representação em série de potências centrada em
.
Passo 4
Verificação alternativa (usando a definição de série de Taylor) — isto também ensina como obter os coeficientes em provas:
A série de Taylor centrada em é
A série de Taylor centrada em
Calculando derivadas de
:
Por indução mostra-se o padrão
Avalie em
:
Portanto a série de Taylor dá exatamente
confirmando o resultado do Passo 3.
Passo 5
Discussão da convergência (o que usar na prova): a série geométrica usada converge se e somente se
, ou seja
. Em termos de intervalo real isso corresponde a
. Nos extremos:
- Em
temos e a série vira , que não converge (os somatórios parciais oscilam). - Em
temos e a série vira , que diverge.
Logo o raio de convergência ée a convergência é estrita: .
Passo 6
Exemplo prático (para usar na prova ao estimar valores): para aproximar
(ou seja
, então
), usando alguns termos:
O valor exato é
, então a série funciona bem perto de
.