Achar uma representação por meio de séries de potências centrada em x=a, das seguintes funções
1.) f(x)=\frac{1}{x}, em potências de x-1

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma representação por séries de potências centrada em x=a para a função f(x)=\dfrac{1}{x}, especificamente em potências de x-1.
Dados relevantes:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x}.
  • O centro pedido é a=1.
  • Queremos uma série em potências de x-1, isto é, algo da forma \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-1)^n.
    O objetivo final é obter explicitamente os coeficientes c_n e a região de convergência desta série.

Passo 2

Ideia simples e direta (usar a série geométrica): faça a mudança u=x-1. Então
x=1+u\qquad\text{e}\qquad f(x)=\frac{1}{x}=\frac{1}{1+u}.
Lembrete da série geométrica: para |r|<1 vale
\sum_{n=0}^{\infty} r^n=\frac{1}{1-r}.
Substituindo r=-u (ou seja, usando 1/(1+u)=1/(1-(-u))) obtemos, para |u|<1,
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty} (-u)^n=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n u^n.

Passo 3

Voltando à variável original x (lembre: u=x-1), ficamos com a série procurada:
\frac{1}{x}=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (x-1)^n,\qquad\text{para }|x-1|<1.
Escrevendo os primeiros termos:
\frac{1}{x}=1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+\cdots.
Esta é a representação em série de potências centrada em x=1.

Passo 4

Verificação alternativa (usando a definição de série de Taylor) — isto também ensina como obter os coeficientes em provas:
A série de Taylor centrada em a=1 é
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n.
Calculando derivadas de f(x)=x^{-1}:
f'(x)=-1\cdot x^{-2},\qquad f''(x)=2\cdot x^{-3},\qquad f^{(3)}(x)=-6\cdot x^{-4},\\ \ldots
Por indução mostra-se o padrão
f^{(n)}(x)=(-1)^n n!\, x^{-(n+1)}.
Avalie em x=1:
f^{(n)}(1)=(-1)^n n! \quad\Rightarrow\quad \frac{f^{(n)}(1)}{n!}=(-1)^n.
Portanto a série de Taylor dá exatamente
\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (x-1)^n,
confirmando o resultado do Passo 3.

Passo 5

Discussão da convergência (o que usar na prova): a série geométrica usada converge se e somente se |u|<1, ou seja |x-1|<1. Em termos de intervalo real isso corresponde a 0<x<2. Nos extremos:
  • Em x=2 temos u=1 e a série vira \sum_{n=0}^\infty (-1)^n, que não converge (os somatórios parciais oscilam).
  • Em x=0 temos u=-1 e a série vira \sum_{n=0}^\infty 1, que diverge.
    Logo o raio de convergência é 1 e a convergência é estrita: |x-1|<1.

Passo 6

Exemplo prático (para usar na prova ao estimar valores): para aproximar \dfrac{1}{1{,}1} (ou seja x=1{,}1, então x-1=0{,}1), usando alguns termos:
\frac{1}{1{,}1}\approx 1-0{,}1+0{,}01-0{,}001=0{,}909.
O valor exato é \approx0{,}90909\ldots, então a série funciona bem perto de 1.

Resposta

\frac{1}{x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n (x-1)^n,\qquad |x-1|<1.

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