Derive as funções:
f(x)=\left[x+\left(x+\operatorname{sen}^{2}(x)\right)^{3}\right]^{4}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\bigl[x+\bigl(x+\sin^{2}(x)\bigr)^{3}\bigr]^{4}.
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia em níveis aninhados: uma potência de uma função que, por sua vez, contém outra potência e uma função trigonométrica. Vamos aplicar a regra da cadeia de fora para dentro.

Passo 2

Definimos a função intermediária
u(x)=x+\bigl(x+\sin^{2}(x)\bigr)^{3},
de modo que
f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{4}.
Pela regra da cadeia para potência,
f'(x)=4\bigl(u(x)\bigr)^{3}\,u'(x).

Passo 3

Agora calculamos
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[x+\bigl(x+\sin^{2}(x)\bigr)^{3}\bigr] =1+\frac{d}{dx}\bigl(x+\sin^{2}(x)\bigr)^{3}.
Novamente pela regra da cadeia, se v(x)=x+\sin^{2}(x), então
\frac{d}{dx}\bigl(v(x)\bigr)^{3}=3\bigl(v(x)\bigr)^{2}\,v'(x).
Logo,
u'(x)=1+3\bigl(x+\sin^{2}(x)\bigr)^{2}\,v'(x).

Passo 4

Falta v'(x) para v(x)=x+\sin^{2}(x):
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[x+\sin^{2}(x)\bigr]=1+2\sin(x)\cos(x).
Como 2\sin(x)\cos(x)=\sin(2x), temos
v'(x)=1+\sin(2x).
Substituindo em u'(x) e depois em f'(x), obtemos a derivada completa.

Resposta

f'(x)=4\bigl[x+\bigl(x+\sin^{2}(x)\bigr)^{3}\bigr]^{3}\,\Bigl[1+3\bigl(x+\sin^{2}(x)\bigr)^{2}\bigl(1+\sin(2x)\bigr)\Bigr].

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