Derive as funções:
f(x)=\operatorname{sen}^{2}\left(e^{\operatorname{sen}^{2}(x)}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\sin^{2}\bigl(e^{\sin^{2}(x)}\bigr).
O conteúdo principal é a regra da cadeia, pois temos várias funções compostas: quadrado, seno, exponencial e novamente seno. Vamos decompor a composição em camadas e aplicar a regra da cadeia passo a passo.

Passo 2

Definimos as seguintes funções intermediárias para visualizar a cadeia:
t(x)=\sin^{2}(x), \quad u(x)=e^{\,t(x)}, \quad v(x)=\sin\bigl(u(x)\bigr), \quad f(x)=v(x)^{2}.
Assim, f = (v\circ u\circ t)^{2}. Pela regra da cadeia,
f'(x)=2\,v(x)\,\frac{dv}{dx}.

Passo 3

Calculamos t'(x). Como t(x)=\sin^{2}(x), usamos cadeia em w(x)=\sin(x) e w(x)^{2}:
t'(x)=2\,\sin(x)\,\frac{d}{dx}[\sin(x)] =2\,\sin(x)\,\cos(x).

Passo 4

Agora u(x)=e^{\,t(x)}. A derivada de e^{\,(\cdot)} é ela mesma vezes a derivada do expoente:
u'(x)=e^{\,t(x)}\,t'(x) =e^{\,t(x)}\bigl(2\,\sin(x)\cos(x)\bigr).

Passo 5

Em seguida v(x)=\sin\bigl(u(x)\bigr). A derivada de \sin(\cdot) é \cos(\cdot) vezes a derivada interna:
v'(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x) =\cos\bigl(e^{\,t(x)}\bigr)\;e^{\,t(x)}\;2\,\sin(x)\cos(x).

Passo 6

Finalmente, voltamos a
f'(x)=2\,v(x)\,v'(x) =2\,\sin\bigl(e^{\,t(x)}\bigr)\;\bigl[\cos\bigl(e^{\,t(x)}\bigr)\,e^{\,t(x)}\;2\,\sin(x)\cos(x)\bigr].
Substituindo t(x)=\sin^{2}(x), obtemos
f'(x) =4\,e^{\,\sin^{2}(x)}\,\sin(x)\,\cos(x)\, \sin\bigl(e^{\,\sin^{2}(x)}\bigr)\, \cos\bigl(e^{\,\sin^{2}(x)}\bigr).

Resposta

f'(x) =4\,e^{\,\sin^{2}(x)}\,\sin(x)\,\cos(x)\, \sin\bigl(e^{\,\sin^{2}(x)}\bigr)\, \cos\bigl(e^{\,\sin^{2}(x)}\bigr).

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