Derive as funções:
f(x)=\ln (x) e^{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln(x)\,e^{x},
que é o produto de duas funções u(x)=\ln(x) e v(x)=e^{x}. Para isso vamos usar a regra do produto, que diz:
(u\,v)' = u'\,v + u\,v'.

Passo 2

Calculamos as derivadas de cada fator:
u(x)=\ln(x) \quad\Longrightarrow\quad u'(x)=\frac{1}{x},
v(x)=e^{x} \quad\Longrightarrow\quad v'(x)=e^{x}.

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x) =\frac{1}{x}\,e^{x} + \ln(x)\,e^{x}.

Passo 4

Fatorando e^{x} em evidência:
f'(x) =e^{x}\Bigl(\frac{1}{x} + \ln(x)\Bigr).

Resposta

f'(x)=e^{x}\Bigl(\ln(x)+\tfrac{1}{x}\Bigr),\quad x>0.

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