Derive as funções:
f(x)=\frac{6^{x}}{\log _{6}(x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{6^{x}}{\log_{6}(x)}.
O conteúdo principal é derivação de exponencial e de logaritmo, além da regra do quociente (ou, alternativamente, reescrever como produto).

Passo 2

Usamos a mudança de base para transformar o denominador em logaritmo natural. Sabemos que
\log_{6}(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(6)},
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\frac{1}{\log_{6}(x)} =\frac{\ln(6)}{\ln(x)}.
Assim podemos escrever
f(x)=6^{x}\,\frac{\ln(6)}{\ln(x)}.

Passo 3

Definimos
u(x)=6^{x}, \quad v(x)=\frac{\ln(6)}{\ln(x)}.
Derivando cada um:
- Para u(x)=6^{x},
u'(x)=6^{x}\ln(6).
- Para v(x)=\ln(6)\,(\ln(x))^{-1},
v'(x) =\ln(6)\cdot\bigl(-1\bigr)\,(\ln(x))^{-2}\cdot\frac{1}{x} =-\frac{\ln(6)}{x\,(\ln(x))^{2}}.

Passo 4

Aplicamos a regra do produto f'=u'v+u\,v':
f'(x) =6^{x}\ln(6)\;\frac{\ln(6)}{\ln(x)} +6^{x}\;\frac{\ln(6)}{\ln(x)}\;\Bigl(-\frac{\ln(6)}{x\,(\ln(x))^{2}}\Bigr).

Passo 5

Fatorando 6^{x}(\ln6)^{2} em cada termo e colocando sobre um denominador comum x\,(\ln(x))^{3}, obtemos
f'(x) =\frac{6^{x}(\ln6)^{2}}{x\,(\ln(x))^{3}} \Bigl[x\,(\ln(x))^{2}-1\Bigr].

Resposta

\boxed{ f'(x) =\frac{6^{x}(\ln6)^{2}\,\bigl[x\,(\ln(x))^{2}-1\bigr]} {x\,\bigl(\ln(x)\bigr)^{3}} }.

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