Derive as funções, utilizando a regra da cadeia.
f(x)=(1+4 x)^{5}\left(3+x-x^{2}\right)^{8};

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
f(x) = (1+4x)^{5}\,(3 + x - x^{2})^{8}
Isso envolve aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos separar em duas funções:
u(x) = (1+4x)^{5} \quad\text{e}\quad v(x) = (3 + x - x^{2})^{8}
Assim, f(x)=u(x)\,v(x) e usaremos
f'(x)=u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).

Passo 3

Para obter u'(x) aplicamos a regra da cadeia em
u(x) = (1+4x)^{5}.
A derivada interna de 1+4x é 4, e a derivada externa de (\;\cdot\;)^{5} é 5(\;\cdot\;)^{4}. Logo,
u'(x) = 5\,(1+4x)^{4}\cdot 4 = 20\,(1+4x)^{4}.

Passo 4

Para v'(x) fazemos o mesmo em
v(x) = (3 + x - x^{2})^{8}.
A derivada interna de 3 + x - x^{2} é 1 - 2x, e a derivada externa de (\;\cdot\;)^{8} é 8(\;\cdot\;)^{7}. Assim,
v'(x) = 8\,(3 + x - x^{2})^{7}\,\bigl(1 - 2x\bigr).

Passo 5

Substituindo na regra do produto:
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x) = 20\,(1+4x)^{4}\,(3 + x - x^{2})^{8} + (1+4x)^{5}\,8\,(3 + x - x^{2})^{7}\,(1 - 2x).

Passo 6

Podemos fatorar o que é comum em ambos os termos, que é (1+4x)^{4}(3 + x - x^{2})^{7}:
f'(x) = (1+4x)^{4}\,(3 + x - x^{2})^{7} \Bigl[20\,(3 + x - x^{2}) + 8\,(1+4x)\,(1 - 2x)\Bigr].

Resposta

f'(x) = (1+4x)^{4}\,(3 + x - x^{2})^{7} \Bigl[20\,(3 + x - x^{2}) + 8\,(1+4x)\,(1 - 2x)\Bigr].

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