Derive as funções, utilizando a regra da cadeia.
f(x)=(2 x-5)^{4}\left(8 x^{2}-5\right)^{-3};

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = (2x-5)^{4}\,(8x^{2}-5)^{-3}.
Para isso vamos usar a regra do produto e, em cada fator, a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos
u(x) = (2x-5)^{4}, \quad v(x) = (8x^{2}-5)^{-3}.
Pela regra do produto,
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos u'(x) aplicando a regra da cadeia em (2x-5)^{4}:
a derivada externa traz o expoente e reduz em 1, e a derivada interna de 2x-5 é 2. Logo,
u'(x) = 4\,(2x-5)^{3}\cdot 2 = 8\,(2x-5)^{3}.

Passo 4

Calculamos v'(x) em (8x^{2}-5)^{-3}:
a derivada externa traz -3 e reduz o expoente para -4, e a derivada interna de 8x^{2}-5 é 16x. Assim,
v'(x) = -3\,(8x^{2}-5)^{-4}\cdot 16x = -48x\,(8x^{2}-5)^{-4}.

Passo 5

Substituímos em f'(x)=u'v+uv':
f'(x) = 8\,(2x-5)^{3}\,(8x^{2}-5)^{-3} \;+\;(2x-5)^{4}\,\bigl(-48x\,(8x^{2}-5)^{-4}\bigr).

Passo 6

Fatoramos (2x-5)^{3}\,(8x^{2}-5)^{-4} em evidência:
f'(x) = (2x-5)^{3}\,(8x^{2}-5)^{-4} \Bigl[ 8\,(8x^{2}-5) -48x\,(2x-5) \Bigr].

Passo 7

Simplificamos o colchete:
8\,(8x^{2}-5)=64x^{2}-40, \quad 48x\,(2x-5)=96x^{2}-240x,
64x^{2}-40 - (96x^{2}-240x) = -32x^{2}+240x-40 = -8\,(4x^{2}-30x+5).
Portanto
f'(x) = (2x-5)^{3}\,(8x^{2}-5)^{-4}\,\bigl(-8\,(4x^{2}-30x+5)\bigr) = -8\,(4x^{2}-30x+5)\,(2x-5)^{3}\,(8x^{2}-5)^{-4}.

Resposta

f'(x) = \frac{-8\,(4x^{2}-30x+5)\,(2x-5)^{3}}{(8x^{2}-5)^{4}}.

Exercícios relacionados