Derive as funções, utilizando a regra da cadeia.
f(x)=\left(x^{4}-1\right)^{3}\left(x^{3}+1\right)^{4};

Passo 1

O enunciado pede para derivar
f(x)=\bigl(x^{4}-1\bigr)^{3}\,\bigl(x^{3}+1\bigr)^{4}
usando a regra da cadeia e, como temos um produto de duas funções, também a regra do produto.

Passo 2

Vamos chamar
u(x)=\bigl(x^{4}-1\bigr)^{3} \quad\text{e}\quad v(x)=\bigl(x^{3}+1\bigr)^{4}.
Então f(x)=u(x)\,v(x) e pela regra do produto
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Para achar u'(x) usamos a regra da cadeia em u(x)=g(h(x)) com g(t)=t^{3} e h(x)=x^{4}-1. Assim
g'(t)=3\,t^{2}, \quad h'(x)=4\,x^{3},
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u'(x)=g'\bigl(h(x)\bigr)\,h'(x) =3\bigl(x^{4}-1\bigr)^{2}\cdot 4x^{3} =12\,x^{3}\,\bigl(x^{4}-1\bigr)^{2}.

Passo 4

De modo análogo, para v(x)=\bigl(x^{3}+1\bigr)^{4} tomamos G(t)=t^{4} e H(x)=x^{3}+1. Então
G'(t)=4\,t^{3}, \quad H'(x)=3\,x^{2},
e
v'(x)=G'\bigl(H(x)\bigr)\,H'(x) =4\bigl(x^{3}+1\bigr)^{3}\cdot 3x^{2} =12\,x^{2}\,\bigl(x^{3}+1\bigr)^{3}.

Passo 5

Substituindo u'(x), v(x), u(x) e v'(x) na regra do produto:
f'(x) = \bigl[12\,x^{3}\,(x^{4}-1)^{2}\bigr]\,(x^{3}+1)^{4} + (x^{4}-1)^{3}\,\bigl[12\,x^{2}\,(x^{3}+1)^{3}\bigr].

Passo 6

Para simplificar, fatoramos 12\,x^{2}\,(x^{4}-1)^{2}\,(x^{3}+1)^{3}:
f'(x) =12\,x^{2}\,(x^{4}-1)^{2}\,(x^{3}+1)^{3} \bigl[x\,(x^{3}+1)+(x^{4}-1)\bigr].
E dentro do colchete
x\,(x^{3}+1)+(x^{4}-1)=x^{4}+x+x^{4}-1=2x^{4}+x-1.

Resposta

f'(x) =12\,x^{2}\,(x^{4}-1)^{2}\,(x^{3}+1)^{3}\,\bigl(2x^{4}+x-1\bigr).

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