Derive as funções, utilizando a regra da cadeia.
f(x)=\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+2\right)^{\frac{1}{3}};

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\bigl(x^{2}+1\bigr)\bigl(x^{2}+2\bigr)^{\frac13}
usando a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Identificamos
u(x)=x^{2}+1 \quad\text{e}\quad v(x)=\bigl(x^{2}+2\bigr)^{\frac13},
e aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos u'(x). Como u(x)=x^{2}+1, vale
u'(x)=2x.

Passo 4

Para v(x)=\bigl(x^{2}+2\bigr)^{\frac13} usamos a regra da cadeia. Seja
g(t)=t^{\frac13}, \quad h(x)=x^{2}+2.
Então
g'(t)=\frac{1}{3}\,t^{-\frac{2}{3}} \quad\text{e}\quad h'(x)=2x,
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v'(x)=g'\bigl(h(x)\bigr)\,h'(x) =\frac{1}{3}\bigl(x^{2}+2\bigr)^{-\frac{2}{3}}\cdot 2x =\frac{2x}{3}\bigl(x^{2}+2\bigr)^{-\frac{2}{3}}.

Passo 5

Substituindo em f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) obtemos
f'(x) =2x\,(x^{2}+2)^{\frac13} +(x^{2}+1)\,\frac{2x}{3}\,(x^{2}+2)^{-\frac{2}{3}}.
Para simplificar, fatoramos 2x\,(x^{2}+2)^{-\frac{2}{3}}:
f'(x) =2x\,(x^{2}+2)^{-\frac{2}{3}} \Bigl[(x^{2}+2)+\tfrac{x^{2}+1}{3}\Bigr] =2x\,(x^{2}+2)^{-\frac{2}{3}}\, \frac{4x^{2}+7}{3}.
Portanto, escrevendo com expoente positivo no denominador,
f'(x) =\frac{2x(4x^{2}+7)}{3\,(x^{2}+2)^{\frac{2}{3}}}.

Resposta

f'(x)=\frac{2x(4x^{2}+7)}{3\,(x^{2}+2)^{\frac{2}{3}}}.

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