Derive as seguintes funções
f(x)=\frac{\ln (x)}{1+x};

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\ln(x)}{1+x}\,.
Para isso vamos usar a regra do quociente: se f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2}\,.

Passo 2

Identificamos u(x)=\ln(x) e v(x)=1+x. Calculamos
u'(x)=\frac{1}{x}, \quad v'(x)=1.
Aplicando a regra do quociente:
f'(x) =\frac{\frac{1}{x}\,(1+x)-\ln(x)\cdot1}{(1+x)^2} =\frac{\frac{1+x}{x}-\ln(x)}{(1+x)^2}\,.

Passo 3

Para simplificar, escrevemos o numerador sobre um único denominador x:
\frac{1+x}{x}-\ln(x) =\frac{1+x - x\ln(x)}{x}\,.
Logo
f'(x) =\frac{1+x - x\ln(x)}{x\,(1+x)^2}\,.

Resposta

f'(x)=\frac{1+x - x\ln(x)}{x\,(1+x)^2}\,.

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