Derive as seguintes funções
f(x)=\ln \left(\frac{(2 x+1)^{3}}{(3 x-1)^{4}}\right);

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln\!\biggl(\frac{(2x+1)^{3}}{(3x-1)^{4}}\biggr).
Aqui vamos usar propriedades do logaritmo (logaritmo do quociente e potência) e a regra da cadeia para derivar.

Passo 2

Usando \ln\bigl(\tfrac{A}{B}\bigr)=\ln A-\ln B e \ln(A^{n})=n\ln A, reescrevemos
f(x) =3\,\ln(2x+1)\;-\;4\,\ln(3x-1).

Passo 3

Agora aplicamos a derivada em cada termo. Sabemos que
\frac{d}{dx}\ln(2x+1)=\frac{2}{2x+1}, \qquad \frac{d}{dx}\ln(3x-1)=\frac{3}{3x-1}.
Portanto
f'(x) =3\cdot\frac{2}{2x+1}-4\cdot\frac{3}{3x-1} =\frac{6}{2x+1}-\frac{12}{3x-1}.

Passo 4

Para escrever em uma única fração, usamos denominador comum (2x+1)(3x-1):
f'(x) =\frac{6(3x-1)-12(2x+1)}{(2x+1)(3x-1)} =\frac{18x-6-24x-12}{(2x+1)(3x-1)} =\frac{-6x-18}{(2x+1)(3x-1)} =-\frac{6(x+3)}{(2x+1)(3x-1)}.

Resposta

f'(x)=-\frac{6(x+3)}{(2x+1)\,(3x-1)}.

Exercícios relacionados