Derive as seguintes funções
f(x)=x \ln \left(1+e^{x}\right);

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = x \,\ln\bigl(1 + e^{x}\bigr).
Aqui vamos usar a regra do produto e, dentro dela, a regra da cadeia para derivar o logaritmo.

Passo 2

Seja
g(x) = \ln\bigl(1 + e^{x}\bigr).
Pela regra do produto,
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl[x\bigr]\cdot g(x) + x\cdot \frac{d}{dx}\bigl[g(x)\bigr] = g(x) + x\,g'(x).

Passo 3

Para achar g'(x), note que é derivada de \ln(u) com u(x)=1+e^{x}. Então
g'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}.

Passo 4

Substituindo g(x) e g'(x) em f'(x), obtemos
f'(x) = \ln\bigl(1 + e^{x}\bigr) + x \,\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}.

Resposta

f'(x) = \ln\bigl(1 + e^{x}\bigr) + \frac{x\,e^{x}}{1 + e^{x}}.

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