Derive as seguintes funções
f(x)=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right);

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}-1}\bigr).
O conteúdo principal é a regra da cadeia para funções compostas e a derivada de raiz quadrada.

Passo 2

Definimos
g(x)=x+\sqrt{x^{2}-1},
de modo que
f(x)=\ln\bigl(g(x)\bigr).
Pela regra da cadeia,
f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}.

Passo 3

Agora calculamos g'(x). Temos
g(x)=x+\bigl(x^{2}-1\bigr)^{1/2}.
A derivada de x é 1. A derivada de \sqrt{x^{2}-1}=(x^{2}-1)^{1/2} é
\frac{1}{2}(x^{2}-1)^{-1/2}\cdot 2x =\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}.
Logo
g'(x)=1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}.

Passo 4

Substituindo em
f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}
vem
f'(x) =\frac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}} {x+\sqrt{x^{2}-1}}.

Passo 5

Para simplificar, note que
1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} =\frac{\sqrt{x^{2}-1}+x}{\sqrt{x^{2}-1}},
de modo que
f'(x) =\frac{\frac{\sqrt{x^{2}-1}+x}{\sqrt{x^{2}-1}}} {x+\sqrt{x^{2}-1}} =\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}.

Resposta

f'(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}.

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