Derive as seguintes funções
f(x)=\ln \left(e^{-x}+x e^{-x}\right);

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln\bigl(e^{-x}+x\,e^{-x}\bigr).
O conteúdo principal é a regra da cadeia para função logarítmica, mas antes vale simplificar o argumento usando fatoração.

Passo 2

Note que
e^{-x}+x\,e^{-x}=e^{-x}(1+x).
Logo,
f(x)=\ln\bigl(e^{-x}(1+x)\bigr) =\ln\bigl(e^{-x}\bigr)+\ln(1+x) =-x+\ln(1+x).

Passo 3

Agora aplicamos a derivada:
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(-x+\ln(1+x)\bigr) =\frac{d}{dx}(-x)+\frac{d}{dx}\ln(1+x) =-1+\frac{1}{1+x}.

Passo 4

Bast a simplificar a soma de frações:
-1+\frac{1}{1+x} =\frac{-1\,(1+x)+1}{1+x} =\frac{-1-x+1}{1+x} =\frac{-x}{1+x}.

Resposta

f'(x)=-\frac{x}{1+x}.

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