Derive as seguintes funções
f(x)=2 x \log _{10}(\sqrt{x});

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=2x\log_{10}\bigl(\sqrt{x}\bigr).
Este é um problema de diferenciação que envolve regras de produto e propriedades de logaritmo.

Passo 2

Usamos a propriedade \sqrt{x}=x^{1/2} e a regra de logaritmo de potência:
\log_{10}\bigl(x^{1/2}\bigr)=\tfrac12\log_{10}(x).
Logo
f(x)=2x\cdot\tfrac12\log_{10}(x)=x\log_{10}(x).

Passo 3

Para derivar f(x)=x\log_{10}(x), aplicamos a regra do produto com
u(x)=x,\quad v(x)=\log_{10}(x).
Temos u'(x)=1 e, sabendo que \dfrac{d}{dx}\log_{10}(x)=\dfrac1{x\ln(10)}, vem
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =\log_{10}(x)+x\cdot\frac1{x\ln(10)} =\log_{10}(x)+\frac1{\ln(10)}.

Resposta

f'(x)=\log_{10}(x)+\frac1{\ln(10)}.

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