Derive as seguintes funções
f(x)=\log _{2}\left(e^{-x} \cos (x \pi)\right).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\log_{2}\bigl(e^{-x}\cos(\pi x)\bigr).
O conteúdo principal é derivação de logaritmo de base genérica e aplicação da regra da cadeia e da derivada de funções trigonométricas.

Passo 2

Usamos a mudança de base do logaritmo: para u(x)>0,
\log_{2}u(x)=\frac{\ln\bigl(u(x)\bigr)}{\ln(2)}.
Logo,
f(x)=\frac{1}{\ln(2)}\;\ln\bigl(e^{-x}\cos(\pi x)\bigr).

Passo 3

Aplicamos a propriedade do logaritmo \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b). Assim,
\ln\bigl(e^{-x}\cos(\pi x)\bigr) =\ln\bigl(e^{-x}\bigr)+\ln\bigl(\cos(\pi x)\bigr) =-x+\ln\bigl(\cos(\pi x)\bigr).
Portanto
f(x)=\frac{1}{\ln(2)}\Bigl[-x+\ln\bigl(\cos(\pi x)\bigr)\Bigr].

Passo 4

Derivamos cada termo usando regra da soma e da cadeia:
\frac{d}{dx}(-x)=-1,
\frac{d}{dx}\ln\bigl(\cos(\pi x)\bigr) =\frac{1}{\cos(\pi x)}\cdot\bigl(-\sin(\pi x)\bigr)\cdot\frac{d}{dx}(\pi x) =-\pi\,\frac{\sin(\pi x)}{\cos(\pi x)} =-\pi\tan(\pi x).

Passo 5

Juntando tudo e lembrando do fator 1/\ln(2):
f'(x) =\frac{1}{\ln(2)}\Bigl[-1\;+\;(-\pi\tan(\pi x))\Bigr] =\frac{-1-\pi\tan(\pi x)}{\ln(2)}.

Resposta

f'(x)=\frac{-\bigl(1+\pi\tan(\pi x)\bigr)}{\ln(2)}.

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