Derive as seguintes funções:
(0,5) g(y)=sen(y^2)+ln (y) cdot cos (y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa derivar a função $ g(y) = \sin(y^{2}) + \ln(y) \cdot \cos(y) $ no intervalo de $ y $ de 0 a 5. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de derivadas, mais especificamente, vamos aplicar regras básicas como a derivada de funções trigonométricas, logarítmicas e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função $ g(y) $ e identificar as partes que precisam ser derivadas. A função é composta por duas partes:
  1. $ \sin(y^{2}) $
  2. $ \ln(y) \cdot \cos(y) $
Cada uma dessas partes vai precisar de uma abordagem diferente para a derivação.

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte: $ \sin(y^{2}) $. Para derivar isso, usamos a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função. Aqui, a função externa é o seno e a função interna é $ y^{2} $.
A derivada de $ \sin(u) $ em relação a $ u $ é $ \cos(u) $, e a derivada de $ y^{2} $ em relação a $ y $ é $ 2y $. Então, aplicando a regra da cadeia:
sin(y^2)

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte: $ \ln(y) \cdot \cos(y) $. Aqui, a gente tem um produto de duas funções, então vamos usar a regra do produto. A regra do produto diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $, onde $ u $ e $ v $ são funções de $ y $.
Vamos definir:
  • $ u = \ln(y) $ e $ v = \cos(y) $
Primeiro, derivamos $ u $ e $ v $:
ln(y) cdot cos(y)
u cdot v
Agora, aplicamos a regra do produto:
u' cdot v + u cdot v'

Passo 5

Finalmente, juntamos as derivadas das duas partes para obter a derivada total da função $ g(y) $:
g(y)

Resposta

A derivada da função é
g'(y) = 2y cos(y^2) + cos(y)y - ln(y) sin(y)

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