Derive:
y=\ln \left(x^{2}+3 x+9\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \ln\bigl(x^{2}+3x+9\bigr)
O conteúdo principal é a derivação de logaritmo natural usando a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = x^{2}+3x+9
e lembramos que, em geral,
\frac{d}{dx}\ln\bigl(u(x)\bigr) = \frac{1}{u(x)}\;\frac{du}{dx}.

Passo 3

Calculamos a derivada de u(x):
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+3x+9\bigr) = 2x + 3.

Passo 4

Substituindo na fórmula da regra da cadeia, obtemos
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u(x)}\;\frac{du}{dx} = \frac{2x+3}{x^{2}+3x+9}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{2x+3}{x^{2}+3x+9}.

Exercícios relacionados