Derive:
y=\ln (\operatorname{sec} (3 x)+\operatorname{tg}(3 x))

Passo 1

O enunciado dá
y = \ln\bigl(\operatorname{sec}(3x)+\tan(3x)\bigr)
e pede y'=\frac{dy}{dx}. Vamos usar a regra da cadeia para a derivada do logaritmo e as derivadas de \operatorname{sec} e \tan.

Passo 2

Seja
u(x)=\operatorname{sec}(3x)+\tan(3x).
Como y=\ln u, a regra da cadeia diz
y'=\frac{u'}{u}.

Passo 3

Agora calculamos u'. Usamos que
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(v)=\operatorname{sec}(v)\tan(v)\,v', \quad \frac{d}{dx}\tan(v)=\operatorname{sec}^2(v)\,v'.
Aqui v=3x e v'=3. Logo
u'=\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(3x)+\frac{d}{dx}\tan(3x) =3\,\operatorname{sec}(3x)\tan(3x)+3\,\operatorname{sec}^2(3x).

Passo 4

Fatorando 3 e \operatorname{sec}(3x) em u', obtemos
u'=3\bigl[\operatorname{sec}(3x)\tan(3x)+\operatorname{sec}^2(3x)\bigr] =3\,\operatorname{sec}(3x)\bigl[\tan(3x)+\operatorname{sec}(3x)\bigr].

Passo 5

Substituindo em y'=\frac{u'}{u}, temos
y'=\frac{3\,\operatorname{sec}(3x)\bigl[\tan(3x)+\operatorname{sec}(3x)\bigr]}{\operatorname{sec}(3x)+\tan(3x)} =3\,\operatorname{sec}(3x).

Resposta

y' = 3\,\operatorname{sec}(3x).

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