Use a definição de derivada pra calcular a derivada de cada uma das funções no ponto indicado:
f(x)=\frac{1}{x^{2}}\, em \(a=2.)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\frac{1}{x^2} no ponto a=2 usando a definição de derivada. O conteúdo é a definição de derivada via quociente de diferenças.

Passo 2

A definição de derivada no ponto a é
f'(a) = \lim_{h\to0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.
Aqui temos f(x)=\frac{1}{x^2} e a=2.

Passo 3

Calculamos primeiro f(2):
f(2) = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}.

Passo 4

Montamos o quociente de diferença e simplificamos:
\frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{\frac{1}{(2+h)^2} - \frac{1}{4}}{h} = \frac{\frac{4 - (2+h)^2}{4(2+h)^2}}{h} = \frac{-4h - h^2}{4(2+h)^2}\,\frac{1}{h} = \frac{-4 - h}{4\,(2+h)^2}.

Passo 5

Agora basta tomar o limite quando h\to0:
f'(2) = \lim_{h\to0} \frac{-4 - h}{4\,(2+h)^2} = \frac{-4}{4\cdot2^2} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4}.

Resposta

f'(2) = -\tfrac{1}{4}.

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