Derive.
y=\operatorname{sen}^{2}\left(e^{\operatorname{sen}^{2}(x)}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \sin^{2}\!\bigl(e^{\sin^{2}(x)}\bigr).
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia aplicada em várias camadas de composição: uma potência, a função seno e a função exponencial sobre outra potência de seno.

Passo 2

Vamos identificar as camadas compondo funções mais internas para as mais externas:
z = \sin^{2}(x),
w = e^{z},
u = \sin(w),
y = u^{2}.
Assim, y(x) = \bigl(\sin\bigl(e^{\sin^{2}(x)}\bigr)\bigr)^{2}.

Passo 3

Derivada da camada mais externa y = u^{2} em relação a u:
\frac{dy}{du} = 2u.

Passo 4

Derivada da próxima camada u = \sin(w) em relação a w:
\frac{du}{dw} = \cos(w).

Passo 5

Derivada da camada w = e^{z} em relação a z:
\frac{dw}{dz} = e^{z}.

Passo 6

Derivada da camada z = \sin^{2}(x) em relação a x. Aqui usamos a regra da cadeia novamente, pois \sin^{2}(x) = [\sin(x)]^{2}:
\frac{dz}{dx} = 2\,\sin(x)\,\cos(x) = \sin(2x).

Passo 7

Agora aplicamos a regra da cadeia juntando todas as derivadas parciais:
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dw}\,\frac{dw}{dz}\,\frac{dz}{dx}.
Substituindo cada termo:
\frac{dy}{dx} = \bigl(2u\bigr)\,\bigl(\cos(w)\bigr)\,\bigl(e^{z}\bigr)\,\bigl(2\sin(x)\cos(x)\bigr).

Passo 8

Voltando às variáveis originais u = \sin(w), w = e^{z} e z = \sin^{2}(x), temos:
\frac{dy}{dx} = 2\,\sin\bigl(e^{\sin^{2}(x)}\bigr)\,\cos\bigl(e^{\sin^{2}(x)}\bigr)\, e^{\sin^{2}(x)}\, 2\,\sin(x)\cos(x).

Resposta

\frac{dy}{dx} = 4\,\sin\bigl(e^{\sin^{2}(x)}\bigr)\, \cos\bigl(e^{\sin^{2}(x)}\bigr)\, e^{\sin^{2}(x)}\, \sin(x)\,\cos(x).

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