Derive.
(y=e^{p}(p+p \sqrt{p}))

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função \,y = e^{p}\,(p + p\sqrt{p})\,.
Informações dadas: a variável independente é \,p\,; a função é produto de \,e^{p}\, por \,p + p\sqrt{p}\,.
Pergunta: encontrar \,\dfrac{dy}{dp}\,, a derivada de y em relação a p.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão dentro do parênteses para trabalhar mais limpo.
\sqrt{p} = p^{1/2}, logo
p\sqrt{p} = p\cdot p^{1/2} = p^{1 + 1/2} = p^{3/2}.
Portanto a função fica
y = e^{p}\bigl(p + p^{3/2}\bigr).

Passo 3

Relembrando duas regras básicas que usaremos:
Regra do produto: se \,u(p)\, e \,v(p)\, são funções de \,p\,, então
\frac{d}{dp}\bigl(u(p)v(p)\bigr) = u'(p)v(p) + u(p)v'(p).
Isto significa: deriva o primeiro e multiplica pelo segundo, depois soma o primeiro vezes a derivada do segundo.
Regra da potência: se \,u(p)=p^{\alpha}\, com \alpha constante, então
\frac{d}{dp}p^{\alpha} = \alpha p^{\alpha-1}.
Regra da exponencial: \displaystyle \frac{d}{dp}e^{p} = e^{p}.
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 4

Identificamos as funções do produto:
u(p) = e^{p},\qquad v(p)=p + p^{3/2}.
Calculemos u'(p) e v'(p) separadamente.
Para u(p)=e^{p},
u'(p)=\frac{d}{dp}e^{p}=e^{p}.
Para v(p)=p + p^{3/2}, aplicamos a regra da potência em cada termo:
\frac{d}{dp}p = 1
e
\frac{d}{dp}p^{3/2} = \frac{3}{2}p^{3/2-1} = \frac{3}{2}p^{1/2}.
Portanto
v'(p) = 1 + \frac{3}{2}p^{1/2}.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto:
\frac{dy}{dp} = u'(p)v(p) + u(p)v'(p).
Substituindo u, u', v e v':
\frac{dy}{dp} = e^{p}\bigl(p + p^{3/2}\bigr) + e^{p}\bigl(1 + \tfrac{3}{2}p^{1/2}\bigr).

Passo 6

Fatoramos e^{p} (fator comum) para simplificar a escrita:
\frac{dy}{dp} = e^{p}\Bigl(p + p^{3/2} + 1 + \tfrac{3}{2}p^{1/2}\Bigr).

Passo 7

Podemos reorganizar os termos por potências de p (opcional, mas deixa claro):
\frac{dy}{dp} = e^{p}\Bigl(1 + p + \tfrac{3}{2}p^{1/2} + p^{3/2}\Bigr).
Também é possível fatorar p^{1/2} dos dois últimos termos:
\tfrac{3}{2}p^{1/2} + p^{3/2} = p^{1/2}\bigl(\tfrac{3}{2} + p\bigr),
então outra forma equivalente é
\frac{dy}{dp} = e^{p}\Bigl(1 + p + p^{1/2}\bigl(\tfrac{3}{2} + p\bigr)\Bigr).

Resposta

\frac{dy}{dp}=e^{p}\Bigl(1 + p + \tfrac{3}{2}p^{1/2} + p^{3/2}\Bigr)

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