Derive:
y=e^{-x} \operatorname{sec} \left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a derivada de
y = e^{-x}\,\operatorname{sec}\bigl(x^{2}\bigr).
O conteúdo necessário envolve a regra do produto para derivadas e a regra da cadeia.

Passo 2

Identificamos duas funções que se multiplicam:
f(x) = e^{-x}, \quad g(x) = \operatorname{sec}\bigl(x^{2}\bigr).
Pela regra do produto,
y' = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x).

Passo 3

Calculando f'(x) usando a regra da cadeia em f(x)=e^{u} com u=-x:
u' = \frac{d}{dx}(-x) = -1, \quad f'(x) = e^{u}\,u' = e^{-x}\cdot(-1) = -e^{-x}.

Passo 4

Calculando g'(x) com g(x)=\operatorname{sec}(u) onde u=x^{2}:
a) u' = \frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x.
b) \displaystyle\frac{d}{du}\operatorname{sec}(u)=\operatorname{sec}(u)\tan(u).
Logo,
g'(x) = \operatorname{sec}\bigl(x^{2}\bigr)\,\tan\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x.

Passo 5

Substituindo em y' = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x):
y' = \bigl(-e^{-x}\bigr)\,\operatorname{sec}\bigl(x^{2}\bigr) + e^{-x}\,\bigl[\operatorname{sec}\bigl(x^{2}\bigr)\,\tan\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x\bigr].

Passo 6

Fatorando e^{-x}\,\operatorname{sec}\bigl(x^{2}\bigr) em evidência:
y' = e^{-x}\,\operatorname{sec}\bigl(x^{2}\bigr)\Bigl(-1 + 2x\,\tan\bigl(x^{2}\bigr)\Bigr).

Resposta

y' = e^{-x}\,\operatorname{sec}\bigl(x^{2}\bigr)\Bigl(-1 + 2x\,\tan\bigl(x^{2}\bigr)\Bigr).

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