Expresse \frac{d y}{d x} em termos de x e y, onde y=f(x) é uma função derivável dada implicitamente pela equação:
y+\ln \left(x^{2}+y^{2}\right)=4

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
y + \ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=4,
onde y=f(x) é diferenciável. O que precisamos é aplicar diferenciação implícita em x, usando regra da soma, regra da cadeia e a derivada de \ln(u), que é u'/u.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl[y\bigr]+\frac{d}{dx}\Bigl[\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\Bigr]=\frac{d}{dx}[4].
Isso dá
\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) = 0.

Passo 3

Agora calculamos \frac{d}{dx}(x^{2}+y^{2}) pela regra da soma e da cadeia:
\frac{d}{dx}(x^{2}) + \frac{d}{dx}(y^{2}) =2x + 2y\,\frac{dy}{dx}.
Substituindo de volta em \frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot(\cdots), vem
\frac{dy}{dx} + \frac{2x + 2y\,\frac{dy}{dx}}{x^{2}+y^{2}} = 0.

Passo 4

Multiplicamos tudo por x^{2}+y^{2} para eliminar o denominador:
\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\frac{dy}{dx} + 2x + 2y\,\frac{dy}{dx} = 0.
Agrupando os termos com \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}\bigl(x^{2}+y^{2} + 2y\bigr) + 2x = 0.

Passo 5

Isolamos \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}\bigl(x^{2}+y^{2} + 2y\bigr) = -\,2x \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{x^{2}+y^{2}+2y}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{x^{2} + y^{2} + 2y}.

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