(Um desafio maior: em caso de dificuldade, peça sugestão…) Seja f(x, y) a função dada para (x, y) \neq(0,0) por f(x, y)=\frac{x y^{3}}{x^{2}+y^{6}}. Explique por que \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) não existe.

Passo 1

O enunciado apresenta a função
f(x,y)=\frac{x\,y^{3}}{x^{2}+y^{6}}
para (x,y)\neq(0,0) e pergunta se \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) existe.
Em limites de funções de duas variáveis, para o limite existir é preciso que, ao nos aproximarmos de (0,0) por qualquer curva, o valor de f(x,y) tenda sempre ao mesmo número. Vamos mostrar que há pelo menos duas curvas que dão resultados diferentes.

Passo 2

Considere a aproximação ao longo do eixo y, isto é, x=0. Substituindo em f:
f(0,y)=\frac{0\cdot y^{3}}{0^{2}+y^{6}}=0.
Logo, ao longo dessa reta,
\lim_{y\to0}f(0,y)=0.

Passo 3

Agora aproxime-se pela curva x=y^{3}. Substituindo em f:
f(y^{3},y) =\frac{y^{3}\cdot y^{3}}{(y^{3})^{2}+y^{6}} =\frac{y^{6}}{y^{6}+y^{6}} =\frac{y^{6}}{2\,y^{6}} =\frac12.
Assim, ao longo dessa curva,
\lim_{y\to0}f(y^{3},y)=\tfrac12.

Passo 4

Observamos que por uma curva o limite vale 0 e por outra vale \tfrac12. Como estes valores são diferentes, não existe um único valor limite ao nos aproximarmos de (0,0) por todas as direções.

Resposta

O limite \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) não existe.

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