(Um desafio maior: em caso de dificuldade, peça sugestão…) Seja
a função dada para
por
. Explique por que
não existe.
Passo 1
O enunciado apresenta a função
para
e pergunta se
existe.
Em limites de funções de duas variáveis, para o limite existir é preciso que, ao nos aproximarmos de por qualquer curva, o valor de
tenda sempre ao mesmo número. Vamos mostrar que há pelo menos duas curvas que dão resultados diferentes.
Em limites de funções de duas variáveis, para o limite existir é preciso que, ao nos aproximarmos de
Passo 2
Considere a aproximação ao longo do eixo
, isto é,
. Substituindo em
:
Logo, ao longo dessa reta,
Passo 3
Agora aproxime-se pela curva
. Substituindo em
:
Assim, ao longo dessa curva,
Passo 4
Observamos que por uma curva o limite vale
e por outra vale
. Como estes valores são diferentes, não existe um único valor limite ao nos aproximarmos de
por todas as direções.
Resposta
O limite
não existe.