(DESAFIO) Uma rocha calcária foi encontrada. Os estudos experimentais dessa rocha indicaram a presença de
de urânio 238 e
de chumbo 206 . O chumbo 206 é o resultado do decaimento radiativo do urânio 238 . Se a meia-vida do urânio 238 é de
anos, qual a idade da rocha?
Resposta:
anos
Resposta:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados experimentais (fornecidos no enunciado):
- massa de urânio-238 presente atualmente:
. - massa de chumbo-206 presente atualmente:
. - meia-vida do urânio-238:
.
- massa de urânio-238 presente atualmente:
-
O enunciado afirma que o chumbo-206 é produto do decaimento do urânio-238 (cada átomo de
que decai dá origem a um átomo de ). -
O que se pede:
- Determinar a idade da rocha, isto é, o tempo
desde que a rocha começou com certa quantidade inicial de urânio-238 até o momento atual, dado o que resta de urânio e o chumbo produzido.
- Determinar a idade da rocha, isto é, o tempo
Passo 2
Relembrando a lei do decaimento radioativo (a teoria necessária, explicada passo a passo).
-
A quantidade de núcleos pais
num instante segue a lei exponencial: onde:-
é o número inicial de núcleos pais (no instante ), -
é o número de núcleos pais no tempo , -
é a constante de decaimento (unidade: ano aqui).
-
-
A meia-vida
está relacionada com por Explicação: meia-vida é o tempo em que sobra metade dos núcleos; substituindona lei exponencial obtém-se a relação acima. -
Queremos o tempo
tal que seja o número atual de núcleos de urânio. Isolando :
Passo 3
Como ligar as massas medidas (
e
) aos números de átomos
.
-
Importante: as massas dadas são massas químicas (gramas). Para usar a lei exponencial precisamos trabalhar com números de átomos. O número de átomos de uma espécie é a massa dividida pela massa molar (em g/mol) vezes o número de Avogadro
. Por exemplo: ondeé a massa molar do (aproximadamente ) e é a massa molar do (aproximadamente ). -
Observação útil:
aparece em todos os termos e vai cancelar quando formos calcular frações como . Assim não precisamos do valor numérico de ; basta trabalhar com massas molares. -
Relação entre número inicial
, número de urânio atual e número de átomos de chumbo formados : como cada átomo de urânio que decai vira um átomo de chumbo, o número inicial é -
Portanto a fração de urânio restante éAqui usei a propriedade de cancelar
e manipular frações. Isso mostra por que é importante usar as massas molares: um átomo de U tem massa diferente de um átomo de Pb, então não se pode somar simplesmente massas sem ajustar pela massa por átomo.
Passo 4
Calcular numericamente a fração de urânio restante atual
usando os valores dados.
-
Usando
e , aplicamos a fórmula: -
Substituindo os números (mostrando as contas):
Então a fração de urânio que ainda resta é aproximadamente
(ou seja, cerca de
do urânio inicial ainda não decaiu).
Passo 5
Calcular a constante de decaimento
a partir da meia-vida e então o tempo
.
-
Constante de decaimento:
-
Usando a relação
, isolamos : -
Substituindo os valores numéricos:Calcular o logaritmo:Portanto
Passo 6
Interpretação e arredondamento final.
- O resultado significa que a rocha tem aproximadamente
anos, ou seja, cerca de milhões de anos. - Arredondando com dois algarismos significativos, fica
. (Dependendo de pequenas variações nas massas molares usadas e no número de algarismos na meia-vida, pode-se obter um valor levemente diferente; o procedimento e a lógica apresentados é o que conta para a prova.)