(DESAFIO) Uma rocha calcária foi encontrada. Os estudos experimentais dessa rocha indicaram a presença de 2,1 \times 10^{-4} \mathrm{~g} de urânio 238 e 2,5 \times 10^{-5} \mathrm{~g} de chumbo 206 . O chumbo 206 é o resultado do decaimento radiativo do urânio 238 . Se a meia-vida do urânio 238 é de 4,5 \times 10^{9} anos, qual a idade da rocha?
Resposta: 8,9 \times 10^{8} anos

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados experimentais (fornecidos no enunciado):
    • massa de urânio-238 presente atualmente: m_{U}=2{,}1\times10^{-4}\\ \mathrm{g}.
    • massa de chumbo-206 presente atualmente: m_{Pb}=2{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{g}.
    • meia-vida do urânio-238: T_{1/2}=4{,}5\times10^{9}\\ \text{anos}.
  • O enunciado afirma que o chumbo-206 é produto do decaimento do urânio-238 (cada átomo de \mathrm{U^{238}} que decai dá origem a um átomo de \mathrm{Pb^{206}}).
  • O que se pede:
    • Determinar a idade da rocha, isto é, o tempo t desde que a rocha começou com certa quantidade inicial de urânio-238 até o momento atual, dado o que resta de urânio e o chumbo produzido.

Passo 2

Relembrando a lei do decaimento radioativo (a teoria necessária, explicada passo a passo).
  • A quantidade de núcleos pais N(t) num instante t segue a lei exponencial:
    N(t)=N_0\,e^{-\lambda t},
    onde:
    • N_0 é o número inicial de núcleos pais (no instante t=0),
    • N(t) é o número de núcleos pais no tempo t,
    • \lambda é a constante de decaimento (unidade: ano ^{-1} aqui).
  • A meia-vida T_{1/2} está relacionada com \lambda por
    \lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}.
    Explicação: meia-vida é o tempo em que sobra metade dos núcleos; substituindo N(T_{1/2})=N_0/2 na lei exponencial obtém-se a relação acima.
  • Queremos o tempo t tal que N(t) seja o número atual de núcleos de urânio. Isolando t:
    \frac{N(t)}{N_0}=e^{-\lambda t}\quad\Rightarrow\quad t=-\frac{1}{\lambda}\ln\!\left(\frac{N(t)}{N_0}\right).

Passo 3

Como ligar as massas medidas ( m_U e m_{Pb}) aos números de átomos N.
  • Importante: as massas dadas são massas químicas (gramas). Para usar a lei exponencial precisamos trabalhar com números de átomos. O número de átomos de uma espécie é a massa dividida pela massa molar (em g/mol) vezes o número de Avogadro N_A. Por exemplo:
    N_U=\frac{m_U}{M_U}\,N_A,\qquad N_{Pb}=\frac{m_{Pb}}{M_{Pb}}\,N_A,
    onde M_U é a massa molar do \mathrm{U^{238}} (aproximadamente 238\\ \mathrm{g/mol}) e M_{Pb} é a massa molar do \mathrm{Pb^{206}} (aproximadamente 206\\ \mathrm{g/mol}).
  • Observação útil: N_A aparece em todos os termos e vai cancelar quando formos calcular frações como N_U/N_0. Assim não precisamos do valor numérico de N_A; basta trabalhar com massas molares.
  • Relação entre número inicial N_0, número de urânio atual N_U e número de átomos de chumbo formados N_{Pb}: como cada átomo de urânio que decai vira um átomo de chumbo, o número inicial é
    N_0 = N_U + N_{Pb}.
  • Portanto a fração de urânio restante é
    \frac{N_U}{N_0}=\frac{N_U}{N_U+N_{Pb}} =\frac{\dfrac{m_U}{M_U}}{\dfrac{m_U}{M_U}+\dfrac{m_{Pb}}{M_{Pb}}} =\frac{m_U}{m_U + m_{Pb}\,\dfrac{M_U}{M_{Pb}}}.
    Aqui usei a propriedade de cancelar N_A e manipular frações. Isso mostra por que é importante usar as massas molares: um átomo de U tem massa diferente de um átomo de Pb, então não se pode somar simplesmente massas sem ajustar pela massa por átomo.

Passo 4

Calcular numericamente a fração de urânio restante atual N_U/N_0 usando os valores dados.
  • Usando M_U=238\\ \mathrm{g/mol} e M_{Pb}=206\\ \mathrm{g/mol}, aplicamos a fórmula:
    \frac{N_U}{N_0}=\frac{m_U}{m_U + m_{Pb}\,\dfrac{238}{206}}.
  • Substituindo os números (mostrando as contas):
    m_{Pb}\,\frac{238}{206}=2{,}5\times10^{-5}\times\frac{238}{206} =2{,}5\times10^{-5}\times1{,}1553398\ldots =2{,}8883495\times10^{-5}\\ \mathrm{g}.
m_U + m_{Pb}\frac{238}{206}=2{,}1\times10^{-4}+2{,}8883495\times10^{-5} =2{,}38883495\times10^{-4}\\ \mathrm{g}.
\frac{N_U}{N_0}=\frac{2{,}1\times10^{-4}}{2{,}38883495\times10^{-4}} \approx0{,}879059829.
Então a fração de urânio que ainda resta é aproximadamente \,0{,}87906 (ou seja, cerca de 87{,}9\% do urânio inicial ainda não decaiu).

Passo 5

Calcular a constante de decaimento \lambda a partir da meia-vida e então o tempo t.
  • Constante de decaimento:
    \lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}=\frac{0{,}693147\ldots}{4{,}5\times10^{9}\\ \text{anos}} \approx1{,}540327\times10^{-10}\\ \text{ano}^{-1}.
  • Usando a relação \dfrac{N_U}{N_0}=e^{-\lambda t}, isolamos t:
    t=-\frac{1}{\lambda}\ln\!\left(\frac{N_U}{N_0}\right).
  • Substituindo os valores numéricos:
    t=-\frac{1}{1{,}540327\times10^{-10}}\ln(0{,}879059829).
    Calcular o logaritmo:
    \ln(0{,}879059829)\approx-0{,}129023\ldots
    Portanto
    t=\frac{0{,}129023}{1{,}540327\times10^{-10}} \approx8{,}376\times10^{8}\\ \text{anos}.

Passo 6

Interpretação e arredondamento final.
  • O resultado significa que a rocha tem aproximadamente 8{,}38\times10^{8} anos, ou seja, cerca de 838 milhões de anos.
  • Arredondando com dois algarismos significativos, fica 8{,}4\times10^{8}\\ \text{anos}. (Dependendo de pequenas variações nas massas molares usadas e no número de algarismos na meia-vida, pode-se obter um valor levemente diferente; o procedimento e a lógica apresentados é o que conta para a prova.)

Resposta

8{,}4\times10^{8}\\ \text{anos}

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