Descreva o comportamento das soluções quando
.
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Passo 1
Temos o sistema linear homogêneo
com
. O conteúdo envolve estabilidade de sistemas lineares e uso de autovalores para classificar o ponto de equilíbrio.
Passo 2
Calculamos o traço de
:
, e o determinante:
. Esses valores entram na equação característica.
Passo 3
A equação característica é
, ou seja
. Resolvendo, obtemos
.
Passo 4
Como os autovalores são puramente imaginários e conjugados, o ponto de equilíbrio é um centro linear. Assim, as soluções não crescem nem decaem, mas permanecem com amplitude constante e se repetem.
Passo 5
No plano de fases, cada solução descreve uma órbita fechada ao redor da origem, caracterizando comportamento periódico e estabilidade neutra.
Resposta
As soluções são periódicas, oscilatórias com amplitude constante e formam órbitas fechadas no plano (centro linear), sem convergir nem divergir quando
.