Descreva o comportamento das soluções quando t infty.

  1. x^prime=(ll2 & -5 1 & -2) x

Passo 1

Temos o sistema linear homogêneo x'=A,x com A=2 & -51 & -2. O conteúdo envolve estabilidade de sistemas lineares e uso de autovalores para classificar o ponto de equilíbrio.

Passo 2

Calculamos o traço de A: tr(A)=2+(-2)=0, e o determinante: det(A)=2cdot(-2)-(-5cdot1)=1. Esses valores entram na equação característica.

Passo 3

A equação característica é lambda^2-tr(A),lambda+det(A)=0, ou seja lambda^2+1=0. Resolvendo, obtemos lambda=pm i.

Passo 4

Como os autovalores são puramente imaginários e conjugados, o ponto de equilíbrio é um centro linear. Assim, as soluções não crescem nem decaem, mas permanecem com amplitude constante e se repetem.

Passo 5

No plano de fases, cada solução descreve uma órbita fechada ao redor da origem, caracterizando comportamento periódico e estabilidade neutra.

Resposta

As soluções são periódicas, oscilatórias com amplitude constante e formam órbitas fechadas no plano (centro linear), sem convergir nem divergir quando ttoinfty.

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