Encontre a solução geral da Eq. (32) em termos de funções reais.

  1. dd tbinomIV=(rr -12 & -18 2 & -12 )binomIV

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de ordem 2 com coeficientes constantes
Temos
ddtI V = AI V, A=-tfrac12 & -tfrac18[0.3em]2 & -tfrac12
Esse é um caso de sistemas lineares, e para resolver vamos usar o método de autovalores e autovetores.

Passo 2

Escrevemos a equação característica usando
det(A-lambda I)=0
ou seja
det-tfrac12-lambda & -tfrac18[0.3em]2 & -tfrac12-lambda=0
que leva a
(-tfrac12-lambda)^2+tfrac14=0

Passo 3

Resolvendo
(-tfrac12-lambda)^2=-tfrac14
obtemos as raízes complexas conjugadas
lambda1,2=-tfrac12pmtfraci2

Passo 4

Para lambda=-tfrac12+tfraci2, montamos
(A-lambda I)v=0
Isto dá o sistema
-tfraci2v1-tfrac18v2=0, 2v1-tfraci2v2=0,
cuja primeira equação rende
v2=4i,v1
Podemos escolher o autovetor
v=14i

Passo 5

A solução complexa geral é combinação linear de
e^(-tfrac12+tfraci2)t14i
e seu conjugado. Para ter funções reais, separamos em parte real e imaginária: se
Xc(t)=e^-t/2e^i t/214i
então
Re Xc(t)=e^-t/2costfrac t2-4sintfrac t2, Im Xc(t)=e^-t/2sintfrac t24costfrac t2

Passo 6

A solução geral real vem como combinação dessas duas componentes:
I(t) V(t) = C1,e^-t/2costfrac t2-4sintfrac t2 + C2,e^-t/2sintfrac t24costfrac t2,
com constantes arbitrárias C1,C2.

Resposta

I(t)=e^-t/2l(C1costfrac t2+C2sintfrac t2r), V(t)=e^-t/2l(-4C1sintfrac t2+4C2costfrac t2r)

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