Descreva correta e sucintamente a principal diferença teórica entre a equação de Schroedinger e a equação de Heisenberg.
Passo 1
O enunciado pede: “Descreva correta e sucintamente a principal diferença teórica entre a equação de Schrödinger e a equação de Heisenberg.”
Informações dadas: somente essa pergunta. Nada mais foi fornecido pelo enunciado.
Informações dadas: somente essa pergunta. Nada mais foi fornecido pelo enunciado.
Passo 2
Primeiro conceito: equação de Schrödinger (forma dependente do tempo). A equação descreve como o vetor de estado da teoria quântica muda no tempo. A forma padrão é
onde
é a constante de Planck reduzida,
é o vetor de estado (contém toda a informação física do sistema no instante
) e
é o operador Hamiltoniano (energia total) do sistema.
Interpretação didática: aqui a “dinâmica” está na dependência temporal dos estados . Os operadores que representam observáveis são, em geral, tomados como independentes do tempo (a menos que tenham dependência explícita).
Interpretação didática: aqui a “dinâmica” está na dependência temporal dos estados
Passo 3
Agora o conceito: equação de Heisenberg. Na imagem de Heisenberg os vetores de estado são fixos no tempo (por convenção tomamos
) e são os operadores que carregam a dependência temporal. A equação de movimento de um operador no picture de Heisenberg é
onde
é o comutador e o último termo aparece se o próprio operador tiver dependência temporal explícita.
Interpretação didática: aqui a “dinâmica” está nos operadores , enquanto os estados permanecem fixos.
Interpretação didática: aqui a “dinâmica” está nos operadores
Passo 4
Relação entre as duas: as duas formulações são completamente equivalentes (mesma física), ligadas por uma transformação unitária. Para
independente de tempo define-se
com
Daí as médias são iguais em ambas as imagens:
Explicando: isso mostra que a diferença é apenas de “distribuição do tempo” entre estados e operadores — as previsões observáveis não mudam.
Passo 5
Resumo prático e quando usar: a diferença principal é onde colocamos a dependência temporal. Na imagem de Schrödinger colocamos o tempo nos estados; na imagem de Heisenberg colocamos o tempo nos operadores. Na prática escolhe-se a imagem que facilita os cálculos (por exemplo, Heisenberg é muito útil em teoria de campos e em análise de constantes de movimento; Schrödinger é a forma mais direta para resolver evolução de funções de onda).
Resposta
A principal diferença é que, na equação de Schrödinger, a dependência temporal está nos vetores de estado (
), enquanto na equação de Heisenberg a dependência temporal está nos operadores (
); as duas imagens são unitariamente equivalentes e dão as mesmas previsões físicas.