descreva e esboce o maior domínio possível da função real de duas ou de três variáveis, isto é, descreva analiticamente e represente geometricamente o maior subconjunto do
ou do
que torna a expressão que define a função, verdadeira em
.
Passo 1
O enunciado pede: descrever analítica e geometricamente o maior domínio (subconjunto de
ou de
) onde a expressão que define a função é um número real. A expressão dada é
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A função é definida em termos do logaritmo natural
. - As variáveis explícitas são
e . - É pedido o maior domínio em
ou, se for o caso, em .
Passo 2
Entender quando
é um número real. Aula rápida e prática: a função logaritmo natural
está definida (como número real) somente para argumentos estritamente positivos. Em linguagem simples, isto significa:
Exemplos concretos:
-
(ok porque ); -
(ok porque ); -
não é um número real (tende para , portanto não está no conjunto ); -
não é real (é indefinido no conjunto dos reais).
Passo 3
Aplicar a condição aos dois termos da função. Para que
seja um número real precisamos que cada parcela seja real. Assim exigimos simultaneamente
Portanto o maior domínio em
é o conjunto de todos os pares
que satisfazem essas duas desigualdades.
Forma analítica do domínio em
:
Observações úteis para a prova:
-
é um conjunto aberto em (porque são desigualdades estritas). - As bordas
e não pertencem ao domínio: nelas o logaritmo não é definido como número real. - Exemplos de pontos no domínio:
, . Exemplos fora: , , .
Passo 4
Descrição geométrica do domínio em
e como esboçar:
- Geometricamente,
é o primeiro quadrante do plano, sem incluir os eixos coordenados. Em termos de desenho: desenhe os eixos e , e sombree a região onde ambos são positivos (a região superior-direita). Não marque os eixos (deixe-os como fronteira não incluída), porque as desigualdades são estritas. - Se precisar rotular: a região corresponde a
, frequentemente chamada de primeiro quadrante aberto.
Dicas práticas para esboçar num rascunho de prova:
- Trace os eixos, desenhe uma seta indicando que só vale a direita do eixo
e acima do eixo . - Sombreie ou trace com linhas diagonais essa região; não pinte os eixos.
Passo 5
Extensão ao caso em
(quando houver uma terceira coordenada
que não aparece na expressão). Interpretação e resultado:
- Se considerarmos a função como dependente apenas de
e mas definida em , a coordenada é livre (qualquer valor real) enquanto e mantêm a restrição de serem positivos. - Assim o maior domínio em
é
Geometricamente,
é um “prisma” infinito ao longo do eixo
cujo corte transversal é o primeiro quadrante aberto do plano
.
Passo 6
Comentários finais práticos e interpretação para a prova (como usar rápido):
- Para qualquer função envolvendo
, verifique sempre os argumentos do logaritmo e imponha que sejam maiores que zero. - Escreva o domínio em forma de conjunto com desigualdades estritas e, se pedirem desenho, mostre claramente que as fronteiras (onde algum argumento é
ou negativo) não pertencem ao domínio. - Exemplo resolvido rápido: para
, basta escrever imediatamente e finalizar com a forma em conjunto.