descreva e esboce o maior domínio possível da função real de duas ou de três variáveis, isto é, descreva analiticamente e represente geometricamente o maior subconjunto do mathbb{R}^{2} ou do mathbb{R}^{3} que torna a expressão que define a função, verdadeira em
mathbb{R}.
f(x, y)=\ln x+\ln y

Passo 1

O enunciado pede: descrever analítica e geometricamente o maior domínio (subconjunto de \mathbb{R}^2 ou de \mathbb{R}^3) onde a expressão que define a função é um número real. A expressão dada é
f(x,y)=\ln x+\ln y.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função é definida em termos do logaritmo natural \ln(\cdot).
  • As variáveis explícitas são x e y.
  • É pedido o maior domínio em \mathbb{R}^2 ou, se for o caso, em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Entender quando \ln t é um número real. Aula rápida e prática: a função logaritmo natural \ln t está definida (como número real) somente para argumentos estritamente positivos. Em linguagem simples, isto significa:
\ln t\in\mathbb{R}\quad\text{se, e somente se,}\quad t>0.
Exemplos concretos:
  • \ln 1 = 0 (ok porque 1>0);
  • \ln e = 1 (ok porque e>0);
  • \ln 0 não é um número real (tende para -\infty, portanto não está no conjunto \mathbb{R});
  • \ln(-1) não é real (é indefinido no conjunto dos reais).

Passo 3

Aplicar a condição aos dois termos da função. Para que f(x,y)=\ln x+\ln y seja um número real precisamos que cada parcela seja real. Assim exigimos simultaneamente
x>0\quad\text{e}\quad y>0.
Portanto o maior domínio em \mathbb{R}^2 é o conjunto de todos os pares (x,y) que satisfazem essas duas desigualdades.
Forma analítica do domínio em \mathbb{R}^2:
D_2=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x>0,\; y>0\}.
Observações úteis para a prova:
  • D_2 é um conjunto aberto em \mathbb{R}^2 (porque são desigualdades estritas).
  • As bordas x=0 e y=0 não pertencem ao domínio: nelas o logaritmo não é definido como número real.
  • Exemplos de pontos no domínio: (1,1), (e, e^2). Exemplos fora: (0,1), (-1,2), (2,0).

Passo 4

Descrição geométrica do domínio em \mathbb{R}^2 e como esboçar:
  • Geometricamente, D_2 é o primeiro quadrante do plano, sem incluir os eixos coordenados. Em termos de desenho: desenhe os eixos x e y, e sombree a região onde ambos são positivos (a região superior-direita). Não marque os eixos (deixe-os como fronteira não incluída), porque as desigualdades são estritas.
  • Se precisar rotular: a região corresponde a \{x>0,y>0\}, frequentemente chamada de primeiro quadrante aberto.
Dicas práticas para esboçar num rascunho de prova:
  • Trace os eixos, desenhe uma seta indicando que só vale a direita do eixo y e acima do eixo x.
  • Sombreie ou trace com linhas diagonais essa região; não pinte os eixos.

Passo 5

Extensão ao caso em \mathbb{R}^3 (quando houver uma terceira coordenada z que não aparece na expressão). Interpretação e resultado:
  • Se considerarmos a função como dependente apenas de x e y mas definida em \mathbb{R}^3, a coordenada z é livre (qualquer valor real) enquanto x e y mantêm a restrição de serem positivos.
  • Assim o maior domínio em \mathbb{R}^3 é
D_3=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x>0,\; y>0,\; z\in\mathbb{R}\}.
Geometricamente, D_3 é um “prisma” infinito ao longo do eixo z cujo corte transversal é o primeiro quadrante aberto do plano xy.

Passo 6

Comentários finais práticos e interpretação para a prova (como usar rápido):
  • Para qualquer função envolvendo \ln(\cdot), verifique sempre os argumentos do logaritmo e imponha que sejam maiores que zero.
  • Escreva o domínio em forma de conjunto com desigualdades estritas e, se pedirem desenho, mostre claramente que as fronteiras (onde algum argumento é 0 ou negativo) não pertencem ao domínio.
  • Exemplo resolvido rápido: para \ln x+\ln y, basta escrever imediatamente x>0,\;y>0 e finalizar com a forma em conjunto.

Resposta

D_2=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x>0,\; y>0\}
D_3=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x>0,\; y>0,\; z\in\mathbb{R}\}

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