Determine/ calcule:
\lim _{x \rightarrow+\infty}[g(x) / h(x)]=

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular
\lim_{x\to+\infty}\frac{g(x)}{h(x)}.
Informações relevantes extraídas da figura (peguei estes dados da imagem):
  • Para valores de x muito grandes (na “cauda” à direita), a função g(x) parece tender para o valor 4.
  • Para valores de x muito grandes, a função h(x) parece tender para o valor 2.
  • Não há indicação na imagem de que h(x) seja 0 para x grandes.

Passo 2

Entendendo o conceito que vamos usar (aula rápida e tranquila).
  • Dizer que \lim_{x\to+\infty}g(x)=L significa que, à medida que x cresce sem limite, os valores de g(x) ficam cada vez mais próximos de L.
  • Analogamente para h.
  • Propriedade importante (muito usada em provas): se \lim_{x\to+\infty}g(x)=L e \lim_{x\to+\infty}h(x)=M com M\neq0, então
\lim_{x\to+\infty}\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{L}{M}.
Explicando por que isso é razoável: quando g(x) está arbitrariamente perto de L e h(x) arbitrariamente perto de M\neq0, os quocientes g(x)/h(x) ficam arbitrariamente perto de L/M.

Passo 3

Aplicando o que lemos na figura aos limites:
  • Pela observação da imagem, concluímos (peguei esse dado da imagem) que
\lim_{x\to+\infty}g(x)=4.
  • Pela observação da imagem, concluímos (peguei esse dado da imagem) que
\lim_{x\to+\infty}h(x)=2.

Passo 4

Verificamos a condição para usar a propriedade do quociente: o limite de h é 2\neq0, então podemos aplicar
\lim_{x\to+\infty}\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{\lim_{x\to+\infty}g(x)}{\lim_{x\to+\infty}h(x)}=\frac{4}{2}.

Passo 5

Calcule a razão e interprete (ufa! já chegamos):
\frac{4}{2}=2.

Resposta

2

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