Descreva o funcionamento de um diodo laser semicondutor. Obtenha a densidade de estados para uma relação de dispersão parabólica
E=hbar^2 k^22 m
Obtenha de forma heurística as equações de taxa, discutindo o significado dos termos. Determine a modulação da potência emitida para um sinal da forma I=I0+i(t), onde I0 é um valor de corrente constante aplicada ao diodo e i(t) é a modulação.

Passo 1

O enunciado pede para entender como funciona um diodo laser semicondutor e, a partir da relação de dispersão parabólica E=hbar^2 k^22m, derivar a densidade de estados, montar heuristicamente as equações de taxa de portadores e fótons discutindo cada termo, e por fim encontrar como a potência óptica modulada responde a um sinal de corrente I=I0+i(t). Vamos precisar de conceitos de física de estado sólido (densidade de estados), processos de recombinação e emissão (spontânea e estimulada) e análise de pequenos sinais para modulação.

Passo 2

Para descrever o funcionamento do diodo laser semicondutor começamos por lembrar que ele é uma junção do tipo p- n ou de poços quânticos onde, sob polarização direta, elétrons e lacunas se injetam na região ativa. Quando a densidade de portadores ultrapassa um valor de inversão de população, as recombinações estimuladas geram fótons coerentes que se refletem na cavidade resonante formando um feixe laser.

Passo 3

Para obter a densidade de estados em 3D partimos da relação de dispersão E=tfrachbar^2k^22m. O número de estados por volume no espaço k numérico é V/(2pi)^3 e cada estado tem degenerescência de spin 2. Fazendo k=raiz2mE/hbar e dk=tfracmhbar^2kdE temos: $$g(E)=2\cdot\frac{V}{(2\pi)^3},4\pi k2\frac{dk}{dE}=\frac{1}{2\pi2}\left(\frac{2m}{\hbar2}\right){3/2}\sqrt{E},.
$$Essa é a densidade de estados por unidade de energia e por unidade de volume.

Passo 4

Montamos heurística das equações de taxa definindo N(t) como densidade de portadores e S(t) como densidade de fótons na cavidade. A injeção de corrente gera portadores à taxa etaiI/qV. Há perdas não-radiativas N/taunr, espontâneas N/tausp e estimuladas proporcionais a vg g(N)S. Para os fótons, há ganho estimulado Gamma vg g(N)S, emissão espontânea canalizada beta N/tausp e perdas de cavidade S/taup. Assim:
dNdt=etaiIqV-Ntaunr-Ntausp-vg g(N)S,
dSdt=Gamma vg g(N)S+betaNtausp-StaupCada termo representa geração, recombinação e dinâmica de fótons.

Passo 5

Para achar a resposta à modulação definimos I=I0+i(t), N=N0+de, S=S0+de, expandimos g(N)approx g0+gN,de e linearizamos, desprezando termos de segunda ordem. No domínio de frequência obtemos um sistema:
jomegade
jomegadeResolvendo para de obtemos a função de transferência que exibe um pico em omegar=raizGamma vg gN S0/taup (oscilações de relaxação) e amortecimento gamma=1/taun+1/taup.

Passo 6

Convertendo densidade de fótons em potência óptica P=hnu Vp S, a modulação da potência é de, com
$$H(\omega)=\frac{h\nu V_p,\eta_i/(qV),\Gamma v_g g_N S_0}{(\omega_r2-\omega2)+j\omega\gamma},.
$$Assim a resposta em frequência mostra largura de banda limitada por H(omega)=hnu Vp,etai/(qV),Gamma vg gN S0(omegar^2-omega^2)+jomegagamma, e amortecimento omegar.

Resposta

A modulação óptica resultante para uma corrente I=I0+i(t) tem a forma de uma função de transferência de segundo grau típica de laser, com frequência de relaxação omegar=raizGamma vg gN S0/taup e amortecimento gamma=1/taun+1/taup, dada por
$$\delta P(\omega)=H(\omega),i(\omega)=\frac{h\nu V_p,\eta_i/(qV),\Gamma v_g g_N S_0}{(\omega_r2-\omega2)+j\omega\gamma};i(\omega),.
$$

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