Considere os ket-estados
e
, na forma
a)Demonstre que as matrizes de Pauli podem ser representadas na forma abaixo:
b) Demonstre que:
com os índices
e
escolhidos entre + , -
c) Demonstre que:
onde 1 é a matriz identidade de ordem 2 .
a)Demonstre que as matrizes de Pauli podem ser representadas na forma abaixo:
c) Demonstre que:
Passo 1
O enunciado pede para expressar as matrizes de Pauli em termos dos kets |+⟩ e |−⟩, mostrar a ortonormalidade desses estados e, por fim, verificar a resolução da identidade via projetores. Vamos usar a base computacional {|0⟩,|1⟩} e a definição de produto externo para construir cada operador.
Passo 2
Primeiro, lembramos que os estados |+⟩ e |−⟩ são os autovetores de σₓ e podem ser escritos na base computacional como
Passo 3
Em seguida, construímos os operadores de rank 1:
Somando-os obtemos σₓ:
Passo 4
Calculamos então
que, ao expandir na base {|0⟩,|1⟩}, reproduz a matriz
.
Passo 5
Para σₓ, terminamos aqui. Agora para σ_y introduzimos os fatores −i e +i nas mesmas projeções:
o que ao expandir dá
.
Passo 6
Para σ_z basta usar os projetores em si:
Subtraindo-os obtemos σ_z = |+⟩⟨+| − |−⟩⟨−|, que é
.
Passo 7
Para a ortonormalidade, calculamos diretamente na base computacional:
logo
.
Passo 8
Por fim, a soma dos projetores é
pois, ao expandir, cada termo preenche exatamente uma entrada da matriz identidade de ordem 2.
Resposta
a)
b)
c)