Considere os ket-estados |+rang<= e |-rang<=, na forma
a)Demonstre que as matrizes de Pauli podem ser representadas na forma abaixo:
sigmax=|+rang<=lang<=-|+|-rang<=lang<=+|, sigmay=-i|+rang<=lang<=-|+i|-rang<=lang<=+|, sigmaz=|+rang<=lang<=+|-|-rang<=lang<=-|,
b) Demonstre que:
lang<=alpha mid betarang<==de
com os índices alpha e beta escolhidos entre + , -
c) Demonstre que:
sumalpha=+,-|alpharang<=lang<=alpha|=1
onde 1 é a matriz identidade de ordem 2 .

Passo 1

O enunciado pede para expressar as matrizes de Pauli em termos dos kets |+⟩ e |−⟩, mostrar a ortonormalidade desses estados e, por fim, verificar a resolução da identidade via projetores. Vamos usar a base computacional {|0⟩,|1⟩} e a definição de produto externo para construir cada operador.

Passo 2

Primeiro, lembramos que os estados |+⟩ e |−⟩ são os autovetores de σₓ e podem ser escritos na base computacional como
|+rang<==|0rang<=+|1rang<=raiz2, |-rang<==|0rang<=-|1rang<=raiz2

Passo 3

Em seguida, construímos os operadores de rank 1:
|+rang<=lang<=-|=(|0rang<=+|1rang<=)(lang<=0|-lang<=1|)2, |-rang<=lang<=+|=(|0rang<=-|1rang<=)(lang<=0|+lang<=1|)2
Somando-os obtemos σₓ:

Passo 4

Calculamos então
σx=|+rang<=lang<=-|+|-rang<=lang<=+|
que, ao expandir na base {|0⟩,|1⟩}, reproduz a matriz 0&11&0.

Passo 5

Para σₓ, terminamos aqui. Agora para σ_y introduzimos os fatores −i e +i nas mesmas projeções:
σy=-i|+rang<=lang<=-|+i|-rang<=lang<=+|,
o que ao expandir dá 0&-ii&0.

Passo 6

Para σ_z basta usar os projetores em si:
|+rang<=lang<=+|=|0rang<=+|1rang<=raiz2lang<=0|+lang<=1|raiz2, |-rang<=lang<=-|=|0rang<=-|1rang<=raiz2lang<=0|-lang<=1|raiz2
Subtraindo-os obtemos σ_z = |+⟩⟨+| − |−⟩⟨−|, que é 1&00&-1.

Passo 7

Para a ortonormalidade, calculamos diretamente na base computacional:
lang<=+|+rang<==1, ;lang<=-|−rang<==1, ;lang<=+|−rang<==0, ;lang<=−|+rang<==0,
logo lang<=alpha|betarang<==de.

Passo 8

Por fim, a soma dos projetores é
|+rang<=lang<=+|+|-rang<=lang<=-|=1,
pois, ao expandir, cada termo preenche exatamente uma entrada da matriz identidade de ordem 2.

Resposta

a) σx=|+rang<=lang<=-|+|-rang<=lang<=+|, σy=-i|+rang<=lang<=-|+i|-rang<=lang<=+|, σz=|+rang<=lang<=+|-|−rang<=lang<=−| b) lang<=α|βrang<==δαβ c) sumα=+,-|αrang<=lang<=α|=1

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