A partir da lei de Planck, demonstre a lei de Stefan-Boltzmann para radiação do corpo negro. O que é a lei de deslocamento de Wien? Encontre a relação de deslocamento de Wien.
Passo 1
Resumimos o enunciado: precisamos usar a lei de Planck para radiação de corpo negro e, a partir dela, mostrar que a potência total irradiada por unidade de área é proporcional a
(lei de Stefan–Boltzmann). Depois, definimos a lei de deslocamento de Wien e derivamos a relação que dá o comprimento de onda de pico em função da temperatura.
Passo 2
Escrevemos a lei de Planck para a radiância espectral em função da frequência
:
Aqui
Passo 3
Expressamos a potência total por unidade de área (fluxo radiado) integrando a radiância espectral sobre todas as frequências e ângulo sólido:
Passo 4
Fazemos a mudança de variável
, logo
e
. A integral vira
Sabemos que
Passo 5
Substituindo o valor da integral obtemos
onde
Passo 6
Agora, a lei de deslocamento de Wien diz que o comprimento de onda
no qual a emissão de um corpo negro é máxima satisfaz
.
Passo 7
Para achar essa relação, usamos a expressão de Planck em função de
:
Impondo
que tem solução numérica
.
Passo 8
Da definição de
segue
Essa é a relação de deslocamento de Wien.
Resposta
A lei de Stefan–Boltzmann fica
A lei de deslocamento de Wien afirma que o comprimento de onda de pico varia inversamente com a temperatura, sendo