A partir da lei de Planck, demonstre a lei de Stefan-Boltzmann para radiação do corpo negro. O que é a lei de deslocamento de Wien? Encontre a relação de deslocamento de Wien.

Passo 1

Resumimos o enunciado: precisamos usar a lei de Planck para radiação de corpo negro e, a partir dela, mostrar que a potência total irradiada por unidade de área é proporcional a T^4 (lei de Stefan–Boltzmann). Depois, definimos a lei de deslocamento de Wien e derivamos a relação que dá o comprimento de onda de pico em função da temperatura.

Passo 2

Escrevemos a lei de Planck para a radiância espectral em função da frequência nu:
Bnu(T) = 2hnu^3c^2,1expl(tfrachnukTr)-1,
Aqui h é a constante de Planck, k a de Boltzmann e c a velocidade da luz.

Passo 3

Expressamos a potência total por unidade de área (fluxo radiado) integrando a radiância espectral sobre todas as frequências e ângulo sólido:
j^*(T) = integral0^infty l[pi,Bnu(T)r] ,dnu = piintegral0^infty 2hnu^3c^2,dnuexpl(tfrachnukTr)-1,

Passo 4

Fazemos a mudança de variável x=tfrachnukT, logo dnu=tfrackThdx e nu^3=(kT/h)^3x^3. A integral vira
j^*(T)=2pi (kT)^4c^2h^3integral0^inftyx^3,dxe^x-1,
Sabemos que integral0^inftytfracx^3e^x-1dx=pi^415, então

Passo 5

Substituindo o valor da integral obtemos
j^*(T)=2pi (kT)^4c^2h^3cdotpi^415=2pi^5k^415c^2h^3,T^4equivsigma,T^4,,
onde sigma=tfrac2pi^5k^415c^2h^3 é a constante de Stefan–Boltzmann.

Passo 6

Agora, a lei de deslocamento de Wien diz que o comprimento de onda lambdamax no qual a emissão de um corpo negro é máxima satisfaz lambdamaxT=constante.

Passo 7

Para achar essa relação, usamos a expressão de Planck em função de lambda:
Blambda(T)=2hc^2lambda^5,1expl(tfrachclambda kTr)-1,
Impondo tfracdBlambdadlambda=0 e fazendo x=tfrachclambda kT, chega-se à equação transcendental
5l(1-e^-xr)=x,,
que tem solução numérica xapprox4,9651.

Passo 8

Da definição de x segue
lambdamaxT=hck,xapprox6,626times10^-34,J,stimes3,00times10^8,m/s1,381times10^-23,J/Ktimes4,9651approx2,898times10^-3,mcdot K,
Essa é a relação de deslocamento de Wien.

Resposta

A lei de Stefan–Boltzmann fica
j^*(T)=sigma,T^4comsigma=2pi^5k^415c^2h^3approx5,6704times10^-8,W,m^-2K^-4,
A lei de deslocamento de Wien afirma que o comprimento de onda de pico varia inversamente com a temperatura, sendo
lambdamaxTapprox2,898times10^-3,mcdot K,

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